Để chứng minh rằng \(\frac{a^2}{c^2} = \frac{2a^2 + 3b^2}{2c^2 + 3d^2}\) khi \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), chúng ta bắt đầu từ điều kiện đã cho:

\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies ad = bc
\]

Từ đó, ta có thể biểu diễn \(\frac{a}{c}\) và \(\frac{b}{d}\):

\[
\frac{a}{c} = \frac{b}{d}
\]

Bây giờ ta sẽ đặt \(\frac{a}{c} = k\). Khi đó, có:

\[
a = kc \quad \text{và} \quad b = kd
\]

Bây giờ, chúng ta tính \(\frac{a^2}{c^2}\):

\[
\frac{a^2}{c^2} = \frac{(kc)^2}{c^2} = k^2
\]

Tiếp theo, chúng ta tính \(\frac{2a^2 + 3b^2}{2c^2 + 3d^2}\):

\[
2a^2 + 3b^2 = 2(kc)^2 + 3(kd)^2 = 2k^2c^2 + 3k^2d^2 = k^2(2c^2 + 3d^2)
\]

Và:

\[
2c^2 + 3d^2
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{2a^2 + 3b^2}{2c^2 + 3d^2} = \frac{k^2(2c^2 + 3d^2)}{2c^2 + 3d^2}
\]

Vì \(2c^2 + 3d^2 \neq 0\) (do \(c\) và \(d\) khác 0), ta có thể rút gọn:

\[
\frac{2a^2 + 3b^2}{2c^2 + 3d^2} = k^2
\]

Như vậy, chúng ta có:

\[
\frac{a^2}{c^2} = k^2 = \frac{2a^2 + 3b^2}{2c^2 + 3d^2}
\]

Điều này chứng minh được rằng:

\[
\frac{a^2}{c^2} = \frac{2a^2 + 3b^2}{2c^2 + 3d^2}
\]

Vậy ta đã hoàn thành xong bài toán.