Để chứng minh rằng \( AIHK \) là một hình vuông, ta sẽ tiến hành các bước sau đây:

**Bước 1: Chứng minh rằng \( AI \) vuông góc với \( IH \)**

Vì \( AH \) là đường phân giác của tam giác vuông cân tại \( A \), ta có \( \angle HAI = \angle HAK \). Do đó, \( AH \) chia đôi góc \( \angle HAI \).

Vì \( HI \) vuông góc với \( AB \), nên \( \angle AHI = 90^\circ \). Điều này dẫn đến \( \angle AHK = \angle AHI + \angle HAI = 90^\circ + \angle HAI \).

Từ đó, ta có \( AH \perp IH \).

**Bước 2: Chứng minh \( HK \) vuông góc với \( AK \)**

Vì \( IH \) vuông góc với \( AC \), tức là \( \angle AHK = 90^\circ \).

Như vậy, ta có
\[
\angle AHI + \angle AHK = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]
Điều này cho thấy \( HK \) vuông góc với \( AK \) vì nó hội tụ tại điểm \( A \).

**Bước 3: Chứng minh rằng \( AI = IH \) và \( AK = HK \)**

Vì tam giác \( A \) là vuông cân, nên \( AI = AK \).

Như vậy, chúng ta có:
\[
AI = AK \quad \text{(1)}
\]
Vì cùng là cạnh huyền của tam giác vuông. Đặc biệt \( AQ \) được chia đôi bởi \( H \).

Vì \( H \) ở giữa \( A \), ta có:
\[
IH = HK \quad \text{(2)}
\]

Vì theo bản chất tam giác vuông cân đồng dạng, các cạnh của nó cũng đồng nhất.

**Bước 4: Kết luận**

Từ (1) và (2), ta suy ra \( AI = AK \) và \( HI = HK \), và vì \( AI \perp IH \), \( AK \perp HK \), nên \( AIHK \) thỏa mãn tất cả tính chất của hình vuông.

Giờ ta đến phần (b).

**Bước 5: Chứng minh A là trung điểm của DE**

Ta có \( D \) nằm trên tia \( HI \) sao cho \( DI = IH \) và \( E \) nằm trên tia \( HK \) sao cho \( KE = HK \).

Ta có thể chỉ ra rằng:
\[
IR = DI + IH = IH + IH = 2IH
\]
\[
KQ = KE + AK = HK + HK = 2HK
\]

Từ đó, \( AD = AI + ID = AI + IH = 2h \)

Tiếp theo, ta có:
- \( A \) ở vị trí chính giữa của đoạn \( DE \) vì xung quanh đường phân giác và tính chất đối xứng của tam giác vuông cân.

Chữ \( DE \) được chia đều, do đó, \( A \) là trung điểm của đoạn thẳng \( DE \).

Vậy chúng ta đã chứng minh xong.