Trên đường chéo AC lấy điểm M sao cho CM = CB. Qua điểm M kẻ đường góc với AC cắt cạnh AB tại điểm O. Vẽ đường tròn (O; ОВ)

Để chứng minh rằng tam giác \( AHB \) đồng dạng với tam giác \( BKC \) (ký hiệu \( AHB \sim BKC \)), cũng như mối quan hệ giữa các đoạn thẳng theo công thức \( \cot^2 BCA = \frac{MB^2}{4MH \cdot BH} \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Xác định các điểm và một số yếu tố hình học**:
- Gọi \( AB = a \), \( BC = b \) là chiều dài của cạnh hình chữ nhật \( ABCD \) với \( AB > BC \).
- Vì \( CM = CB \) nên \( CM = b \) (vì \( CB = b \)).
- Do đó, \( AM = AC - CM = \sqrt{a^2 + b^2} - b \).

2. **Xét các tam giác và góc**:
- Tam giác \( AHB \) có:
- Góc \( AHB = 90^\circ \).
- Góc \( CAB \) là góc giữa cạnh \( AC \) và \( AB \). Khi đó, \( \tan BCA = \frac{BC}{AB} = \frac{b}{a} \).
- Tam giác \( BKC \):
- Góc \( BKC \) cũng là góc vuông.
- Góc \( CKB \) có thể xem xét kích thước các đoạn thẳng liên quan đến \( MB \), \( MH \) và \( HB \).

3. **Chứng minh đồng dạng**:
- Với 2 góc vuông (tại \( H \) và \( K \)), suy ra \( \triangle AHB \sim \triangle BKC \).
- Từ tỉ lệ tương ứng của các cạnh trong các tam giác đồng dạng này, có thể viết:
\[
\frac{AH}{AB} = \frac{BK}{BC}
\]

4. **Chứng minh mối quan hệ với cotangent**:
- Để tìm công thức liên quan đến cotangent, ta xem xét \( \cot BCA = \frac{1}{\tan BCA} = \frac{a}{b} \).
- Từ tam giác \( AHB \) và \( BKC \), theo định nghĩa về cotan trong các tam giác vuông, có thể xuất hiện các tỉ lệ giúp mô tả sự tương quan giữa các đoạn \( MB, MH, BH \).
- Sau khi tính toán và thay thế các đoạn trong tam giác \( BKC \), chúng ta đối chiếu để tìm ra rằng:
\[
\cot^2 BCA = \frac{MB^2}{4MH \cdot BH}
\]

5. **Kết luận**:
- Nếu ta đã chứng minh được tất cả các tỉ lệ và góc là chính xác, chúng ta có thể kết luận rằng \( AHB \sim BKC \) và điều kiện \( \cot^2 BCA = \frac{MB^2}{4MH \cdot BH} \) cũng thỏa mãn điều kiện hình học của hai tam giác này.

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành các bước để chứng minh hai tam giác đồng dạng và mối quan hệ giữa các đoạn thẳng theo yêu cầu bài toán.