Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác AMB = tam giác AMC và AM vuông góc với BC:

1. **Tam giác cân tại A**:
- Giả sử AB = AC (vì tam giác ABC là tam giác cân tại A).

2. **M là trung điểm của BC**:
- Do đó, BM = MC.

3. **Tam giác AMB và tam giác AMC**:
- Có hai cạnh AM chung và BM = MC (vì M là trung điểm).
- Khi đó, ta có thể viết: AB = AC và BM = MC → AMB ≅ AMC (cạnh-cạnh-cạnh).

4. **Chứng minh AM vuông góc với BC**:
- Để chứng minh AM vuông góc với BC, ta cần chỉ ra rằng góc AMB + góc AMC = 180° (hay AM vuông góc với BC).
- Xét góc A:
- Góc AMB + góc AMC = góc A.
- Vậy, với tam giác cân và M là trung điểm, góc AMB + góc AMC = 180°, suy ra AM vuông góc với BC.

### b) Chứng minh tam giác ANK = tam giác BNC và AK song song với BC:

1. **Điểm N là trung điểm của AB**:
- Do đó, AN = NB.

2. **Điểm K được chọn sao cho NK = NC**:
- Chúng ta có AN = NB và NK = NC.

3. **Tam giác ANK và tam giác BNC**:
- Có AN = NB (vì N là trung điểm) và AK = NC (do NK = NC).
- Do đó, ta có: ANK ≅ BNC (cạnh-cạnh-cạnh).

4. **Song song**:
- Nếu A = B thì AK // BC trong tam giác này.

### c) Chứng minh AK = 2*MC và tính số đo của góc MAK:

1. **Chứng minh AK = 2*MC**:
- Từ tam giác AMB và AMC đã chứng minh ở trên, ta thấy MC là nửa chiều dài của BC, nên AK = 2*MC.

2. **Tính góc MAK**:
- Ta có CAK + CAM = 180°.
- Trong tam giác cân ABC, thì:

- Gọi góc CAB = α, do đó:
- Góc MAKB là một góc đối diện và 2 góc còn lại tạo thành với CAK.
- Ta có: MAK = (180° - α)/2.

### Kết luận:

- Ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán:
- A: Tam giác AMB = tam giác AMC và AM vuông góc với BC.
- B: Tam giác ANK = tam giác BNC và AK // BC.
- C: AK = 2*MC, và góc MAK có thể tính theo giá trị của α từ tam giác cân.

Hy vọng rằng hướng dẫn này sẽ giúp bạn hoàn thành bài tập!