Để tính số đo của cung nhỏ \( \widehat{AE} \), chúng ta cần sử dụng các tính chất về góc và cung trong đường tròn.

1. **Góc nội tiếp**: Trong hình, \( \angle APB = 63^\circ \) là góc nội tiếp của cung \( \widehat{AB} \). Theo định lý về góc nội tiếp, số đo của cung \( \widehat{AB} \) sẽ bằng \( 2 \times \angle APB \).

\[
\text{số đo cung } \widehat{AB} = 2 \times 63^\circ = 126^\circ
\]

2. **Tính số đo của các cung còn lại**: Từ điểm \( A \) đến \( B \) có cung \( \widehat{AB} \) và từ \( A \) đến \( E \) có cung \( \widehat{AE} \). Để tính số đo cung nhỏ \( \widehat{AE} \), ta cần biết số đo của cung còn lại \( \widehat{EDB} \) (cung đối diện).

Vì đường tròn có tổng số đo các cung bằng \( 360^\circ \):

\[
\text{số đo cung } \widehat{EDB} = 360^\circ - \text{số đo cung } \widehat{AB} = 360^\circ - 126^\circ = 234^\circ
\]

3. **Số đo cung nhỏ**: Cung nhỏ \( \widehat{AE} \) sẽ bằng số đo của cung \( \widehat{AB} \):

Do đó, cung nhỏ \( \widehat{AE} \) cũng sẽ là \( 126^\circ \).

Tóm lại, số đo của cung nhỏ \( \widehat{AE} \) là \( 126^\circ \).