Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x(x - 7)(x - 3)(x - 4) \), ta có thể phân tích và biện luận.

### Bước 1: Xác định các điểm cần chú ý

Biểu thức \( A \) bằng 0 khi:

- \( x = 0 \)
- \( x = 7 \)
- \( x = 3 \)
- \( x = 4 \)

### Bước 2: Xác định dấu của \( A \) theo khoảng

Ta có các khoảng phát sinh từ các giá trị bậc nhất trên:
- \( (-\infty, 0) \)
- \( (0, 3) \)
- \( (3, 4) \)
- \( (4, 7) \)
- \( (7, +\infty) \)

### Bước 3: Xét dấu của \( A \)

- Với \( x < 0 \): Tất cả các nhân tử đều âm, do đó \( A > 0 \).
- Với \( 0 < x < 3 \): \( x > 0 \), \( (x - 7) < 0 \), \( (x - 3) < 0 \), \( (x - 4) < 0 \). Do \( A < 0 \).
- Với \( 3 < x < 4 \): \( x > 0 \), \( (x - 7) < 0 \), \( (x - 3) > 0 \), \( (x - 4) < 0 \). Do \( A < 0 \).
- Với \( 4 < x < 7 \): \( x > 0 \), \( (x - 7) < 0 \), \( (x - 3) > 0 \), \( (x - 4) > 0 \). Do \( A < 0 \).
- Với \( x > 7 \): Tất cả các nhân tử đều dương, do đó \( A > 0 \).

### Bước 4: Tính giá trị \( A \) tại các điểm gẫy

- \( A(0) = 0 \)
- \( A(3) = 0 \)
- \( A(4) = 0 \)
- \( A(7) = 0 \)

### Bước 5: Tính giá trị tại điểm giữa các khoảng

- Tính giá trị tại \( x = 1 \):
\[
A(1) = 1(1 - 7)(1 - 3)(1 - 4) = 1 \cdot (-6) \cdot (-2) \cdot (-3) = -36
\]

- Tính giá trị tại \( x = 5 \):
\[
A(5) = 5(5 - 7)(5 - 3)(5 - 4) = 5 \cdot (-2) \cdot 2 \cdot 1 = -20
\]

- Tính giá trị tại \( x = 6 \):
\[
A(6) = 6(6 - 7)(6 - 3)(6 - 4) = 6 \cdot (-1) \cdot 3 \cdot 2 = -36
\]

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \(-36\), xảy ra tại \( x = 1 \) và \( x = 6 \).