Để chứng minh rằng \(x+2y\) chia hết cho 5 nếu và chỉ nếu \(3x-4y\) chia hết cho 5, chúng ta sẽ sử dụng tính chất chia hết.

**Bước 1: Xét điều kiện chia hết cho 5**

Ta có hai điều kiện:
1. \(x + 2y \equiv 0 \mod 5\)
2. \(3x - 4y \equiv 0 \mod 5\)

**Bước 2: Từ điều kiện 1 sang điều kiện 2**

Giả sử \(x + 2y \equiv 0 \mod 5\), điều này có nghĩa là:
\[
x + 2y = 5k \quad \text{(với k là một số nguyên)}
\]
Từ đó, ta có:
\[
x \equiv -2y \mod 5
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ thay \(x\) vào điều kiện thứ hai:
\[
3x - 4y \equiv 3(-2y) - 4y \mod 5
\]
Tính toán sẽ cho chúng ta:
\[
-6y - 4y \equiv -10y \equiv 0 \mod 5
\]
Vì \(-10y\) chia hết cho 5, suy ra:
\[
3x - 4y \equiv 0 \mod 5
\]
Vậy nếu \(x + 2y \equiv 0 \mod 5\) thì \(3x - 4y \equiv 0 \mod 5\).

**Bước 3: Từ điều kiện 2 sang điều kiện 1**

Giờ ta giả sử \(3x - 4y \equiv 0 \mod 5\):
\[
3x - 4y \equiv 0 \mod 5 \implies 3x \equiv 4y \mod 5
\]
Suy ra từ đây:
\[
x \equiv \frac{4}{3}y \mod 5
\]
Để tính được \( \frac{4}{3} \) modulo 5, ta cần tìm nghịch đảo của 3 modulo 5. Ta thấy rằng \(3 \times 2 \equiv 1 \mod 5\), vậy nghịch đảo của 3 là 2. Như vậy:
\[
\frac{4}{3} \equiv 4 \times 2 \equiv 8 \equiv 3 \mod 5
\]
Suy ra:
\[
x \equiv 3y \mod 5
\]

Giờ thay vào \(x + 2y\):
\[
x + 2y \equiv 3y + 2y \equiv 5y \equiv 0 \mod 5
\]
Vậy chứng minh được \(x + 2y \equiv 0 \mod 5\).

**Kết luận:**

Từ 2 điều kiện trên, ta đã chứng minh rằng:
\[
x + 2y \text{ chia hết cho } 5 \Leftrightarrow 3x - 4y \text{ chia hết cho } 5
\]

Do đó, kết luận lại:
\[
\boxed{x + 2y \text{ chia hết cho } 5 \Leftrightarrow 3x - 4y \text{ chia hết cho } 5}
\]