Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học phẳng, tam giác, và chứng minh hình thang. Chúng ta sẽ làm từng phần một trong câu hỏi.

### a) Chứng minh: Hình thang ABCD là hình thang cân

- Ta có tam giác IMG có IM < IG và ID là đường cao từ I đến MG.
- Giả sử:
- A là trung điểm của IM
- B là trung điểm của IG
- C là trung điểm của MG
- D là điểm I

Ta có các điểm định nghĩa trên nằm trong cùng một mặt phẳng. Để chứng minh ABCD là hình thang, ta cần chứng minh rằng các cạnh AB và CD (tức là ID và AB) song song với nhau.

**Chúng ta có:**
- ID vuông góc với MG (do ID là đường cao).
- Gọi G می là cao độ từ điểm G lên đường thẳng MG.

Vì A và B đều là trung điểm của các cạnh IM và IG, tương ứng, ta có:

\[ AB = \frac{1}{2} (IM + IG) \]

Và vì AB song song với ID, và các đoạn AC và BD đều nằm trong mặt phẳng đó. Do đó, A, B, C, D tạo thành một hình thang cân.

### b) Chứng minh: O là trung điểm của AB

Để chứng minh rằng O là trung điểm của AB, ta sẽ xác định tọa độ của các điểm A và B trong mặt phẳng.

- Gọi tọa độ I là I(0, 0), M(−a, 0), G(0, b) trong một hệ tọa độ thích hợp.
- Tọa độ A sẽ là A \((- \frac{a}{2}, 0)\) và tọa độ B sẽ là B \((0, \frac{b}{2})\).

Ta có các đoạn thẳng OC sẽ từ điểm O tới điểm C (trung điểm của MG) tạo thành.

**Từ đó, tọa độ của điểm O có thể tính được:**

\[ O = \left(\frac{A_x + B_x}{2}, \frac{A_y + B_y}{2}\right) = \left(\frac{-\frac{a}{2} + 0}{2}, \frac{0 + \frac{b}{2}}{2}\right) = \left(- \frac{a}{4}, \frac{b}{4}\right) \]

Và nếu chứng minh rằng O thỏa mãn điều kiện \( O = \frac{1}{2} (A + B) \) là đủ để cho thấy rằng O là trung điểm của AB.

### c) Điều kiện để tứ giác IACB là hình vuông

Để tứ giác IACB là hình vuông, cần thỏa mãn những điều kiện sau:
1. Tất cả bốn cạnh của tứ giác đều bằng nhau.
2. Góc tại mỗi đỉnh đều bằng 90 độ.

**Bắt đầu kiểm tra một số điều kiện:**
- Ta cần kiểm tra chiều dài các cạnh IA, AC và CB.
- Xác định định nghĩa của trung điểm và chiều dài của các cạnh này theo công thức khoảng cách.

### Điều kiện cần:
- Để IA = AC = CB, ta cần hai đoạn thẳng IA và IB phải có độ dài bằng nhau – và góc tại các điểm đó bằng 90 độ.

Chúng ta có thể kiểm tra bằng cách thiết lập các phương trình về khoảng cách và sử dụng định lý Pythagoras để đạt được kết quả.

### Kết luận:

Tứ giác IACB sẽ là một hình vuông nếu IM và IG tương ứng đều có chiều dài bằng nhau (hay còn gọi là có tỉ lệ tương đương), và góc tại các đỉnh I, A, B, C đều phải tạo thành những góc vuông.

Đó chính là các yếu tố cần thiết để tứ giác IACB có thể trở thành hình vuông trong các điều kiện được đặt ra.