Để giải quyết bài toán này, ta bắt đầu với tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) và một số ký hiệu cụ thể. Ta coi \( A \) là gốc tọa độ \( (0, 0) \), \( B (b, 0) \) và \( C (0, c) \).

### a) Chứng minh \( CN \perp AC \) và \( CN = BC \).

1. **Tìm tọa độ các điểm:**
- Điểm \( M \) là trung điểm của \( AC \), nên:
\[
M = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = \left( 0, \frac{c}{2} \right)
\]
- Điểm \( N \) nằm trên tia \( MB \) sao cho \( M \) là trung điểm của \( BN \). Giả sử tọa độ của \( N \) là \( (x_N, y_N) \), ta có:
\[
M = \left( \frac{b + x_N}{2}, \frac{0 + y_N}{2} \right)
\]
- Giải hệ phương trình:
\[
\frac{b + x_N}{2} = 0 \Rightarrow b + x_N = 0 \Rightarrow x_N = -b
\]
\[
\frac{0 + y_N}{2} = \frac{c}{2} \Rightarrow y_N = c
\]
- Vậy tọa độ của \( N \) là \( (-b, c) \).

2. **Tính vector CN và vector AC:**
- Tọa độ điểm \( C (0, c) \). Vậy vector \( CN \):
\[
CN = N - C = (-b, c) - (0, c) = (-b, 0)
\]
- Vector \( AC = C - A = (0, c) - (0, 0) = (0, c) \).

3. **Kiểm tra điều kiện vuông góc:**
- Vector \( CN \) vuông góc với vector \( AC \) khi tích vô hướng của hai vector này bằng 0:
\[
CN \cdot AC = (-b, 0) \cdot (0, c) = -b \cdot 0 + 0 \cdot c = 0
\]
- Vậy \( CN \perp AC \).

4. **Tính độ dài \( CN \):**
- Độ dài \( BC \):
\[
BC = \sqrt{(b - 0)^2 + (0 - c)^2} = \sqrt{b^2 + c^2}
\]
- Độ dài \( CN \):
\[
CN = |x_N - 0| = |-b| = b
\]
- Do tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) nên \( b = BC \).

Vậy, ta đã chứng minh \( CN \perp AC \) và \( CN = BC \).

### b) Chứng minh \( AN = BC \) và \( AN \parallel BC \).

1. **Tính độ dài \( AN \):**
- Độ dài \( AN \):
\[
AN = \sqrt{((-b) - 0)^2 + (c - 0)^2} = \sqrt{b^2 + c^2}
\]
- Ta nhận thấy rằng:
\[
AN = \sqrt{b^2 + c^2} = BC
\]

2. **Xác định vectơ \( AN \) và vectơ \( BC \):**
- Vector \( AN = N - A = (-b, c) - (0, 0) = (-b, c) \).
- Vector \( BC = C - B = (0, c) - (b, 0) = (-b, c) \).
- Như vậy vector \( AN \) và vector \( BC \) hoàn toàn trùng nhau, điều này suy ra \( AN \parallel BC \).

Kết luận, ta đã chứng minh được rằng \( AN = BC \) và \( AN \parallel BC \).

---

Tóm lại, ta đã chứng minh cả hai phần của bài toán theo yêu cầu.