Để giải bài toán này, ta cần xem xét điều kiện được cho trong biểu thức:

\[
\frac{x+y-2016}{z} = \frac{y-z-2016x}{x} = \frac{z+x-2016y}{y}
\]

Ta có thể đặt \( k = \frac{x+y-2016}{z} \), từ đó có các phương trình sau:

1. \( x+y-2016 = kz \)
2. \( y-z-2016x = kx \)
3. \( z+x-2016y = ky \)

### Bước 1: Giải các phương trình

Từ phương trình 1: \( z = \frac{x+y-2016}{k} \)

Thay z vào phương trình 2:

\[
y - \frac{x+y-2016}{k} - 2016x = kx
\]

Giải phương trình đó để tìm mối liên hệ giữa x, y và k.

### Bước 2: Thay vào biểu thức C

C là:

\[
C = \left( 1 + \frac{x}{y} \right) \left( 1 + \frac{y}{z} \right) \left( 1 + \frac{z}{x} \right)
\]

Thay z vào biểu thức này dựa vào mối quan hệ đã rút ra.

### Bước 3: Tính giá trị C

Sau khi thay thế và đơn giản hóa, tính giá trị của \( C \).

#### Kết luận
Để có giá trị cụ thể, sẽ cần biết các giá trị x, y, z cụ thể thỏa mãn điều kiện ban đầu. Nếu có thể chọn x, y, z sao cho dễ dàng tính toán, chẳng hạn như \( x = 2016, y = 2016, z = 2016 \), bạn có thể áp dụng vào biểu thức C và tính giá trị từ đó.

Nếu x, y, z phải khác nhau, có thể cần tính thêm. Hãy cung cấp thêm thông tin nếu cần.