1) 
Ta có AD là đường cao của tam giác ABC nên AD ⊥ BC.
Vì COE là đường kính của đường tròn (O) nên CE ⊥ BE (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra BE ⊥ BC.
Từ đó suy ra AD // BE (cùng vuông góc với BC).
Tương tự, ta có BD ⊥ AC (vì BD là đường cao).
Vì COE là đường kính nên AE ⊥ CE (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra AH ⊥ CE. Mà BE ⊥ BC (chứng minh trên) nên CE ⊥ BE. Vậy AH // BE (cùng vuông góc với CE).
Tứ giác AHBE có hai cặp cạnh đối song song (AH // BE và AD // BE) nên AHBE là hình bình hành.
2) 
Gọi M là trung điểm của BC. Vì I là hình chiếu của O trên BC nên OI ⊥ BC. Do đó I là trung điểm của BC, hay I trùng với M.
Trong hình bình hành AHBE, đường chéo AB và HE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi giao điểm đó là F.
Xét tam giác BEC vuông tại E, M là trung điểm BC nên ME = MB = MC = BC/2.
Ta có OI = ME (cùng bằng nửa BC).
Trong tam giác AHE, F là trung điểm HE và M là trung điểm BC. Ta có FM là đường trung bình của tam giác CHE. Do đó FM = CH/2 và FM // CH.
Vì AHBE là hình bình hành nên AH = BE.
Xét tam giác BCE vuông tại E, ME là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên ME = BC/2.
Vậy OI = ME = AH/2. Do đó AH = 2OI.