Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng bài toán:

### Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho: p+4, p+10, p+14 đều là số nguyên tố

Ta sẽ kiểm tra từng số nguyên tố nhỏ.

- Nếu \( p = 2 \), ta có \( p+4 = 6 \) (không phải là số nguyên tố).
- Nếu \( p = 3 \), ta có \( p+4 = 7 \), \( p+10 = 13 \), \( p+14 = 17 \) (đều là số nguyên tố).
- Nếu \( p = 5 \), ta có \( p+4 = 9 \) (không phải là số nguyên tố).
- Nếu \( p = 7 \), ta có \( p+4 = 11 \), \( p+10 = 17 \), \( p+14 = 21 \) (21 không phải là số nguyên tố).
- Nếu \( p = 11 \), ta có \( p+4 = 15 \) (không phải là số nguyên tố).
- Nếu \( p = 13 \), ta có \( p+4 = 17 \), \( p+10 = 23 \), \( p+14 = 27 \) (27 không phải là số nguyên tố).
- Kiểm tra tiếp các số khác, bạn có thể thấy rằng không có các trường hợp nào thoả mãn ngoại trừ \( p = 3 \).

Vậy số nguyên tố \( p = 3 \) thoả mãn điều kiện.

### Bài 2: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố

Ba số tự nhiên lẻ liên tiếp có thể được biểu diễn là:
- \( n \), \( n+2 \), \( n+4 \)

Kiểm tra một số trường hợp:
- Nếu \( n = 3 \) thì \( 3, 5, 7 \) đều là số nguyên tố.
- Nếu bạn thử các số khác, sẽ không kiếm được ba số lẻ nào liên tiếp đều là số nguyên tố khác.

Vậy câu trả lời là ba số tự nhiên lẻ liên tiếp là \( 3, 5, 7 \).

### Bài 3: Tính tổng các ước số của \( A = 2^{17} \cdot 5 \)

Ước số của một số có thể được tính bằng công thức:
\[
\sigma(n) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)...(e_k + 1)
\]
Trong đó \( n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} ... p_k^{e_k} \).

Với \( A = 2^{17} \cdot 5^1 \), ta có:
- \( (17 + 1)(1 + 1) = 18 \cdot 2 = 36 \)

Tổng của các ước số được tính bởi:
\[
\frac{p_1^{(e_1 + 1)} - 1}{p_1 - 1} \cdot \frac{p_2^{(e_2 + 1)} - 1}{p_2 - 1}
\]
Áp dụng cho \( A \):
\[
\frac{2^{18} - 1}{2 - 1} \cdot \frac{5^2 - 1}{5 - 1} = (2^{18} - 1) \cdot \frac{24}{4} = (2^{18} - 1) \cdot 6
\]

Giá trị này có thể được tính cụ thể hơn nếu cần.

### Bài 4: Cho S = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^20. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: 4S + 1 = 5^n

S là một cấp số nhân, vì vậy ta có:
\[
S = \frac{5^{21} - 1}{5 - 1} = \frac{5^{21} - 1}{4}
\]

Nên:
\[
4S + 1 = 5^{21} - 1 + 1 = 5^{21}
\]

Vậy \( n = 21 \).

### Bài 5: Tìm số tự nhiên n biết \( 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = 169 \)

Tổng của dãy số lẻ đầu tiên là:
\[
1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = n^2
\]

Vậy ta có:
\[
n^2 = 169 \implies n = 13
\]

Tổng hợp lại, dưới đây là kết quả cho mỗi bài:

1. \( p = 3 \)
2. Ba số tự nhiên lẻ liên tiếp: \( 3, 5, 7 \)
3. Số các ước \( = 36 \)
4. \( n = 21 \)
5. \( n = 13 \)