Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. **Kí hiệu và vẽ hình**: Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( \angle B = 57^\circ \). Do đó, ta có \( \angle C = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ \).

2. **Góc phân giác**: Tia phân giác \( BD \) sẽ chia góc \( ABC \) thành hai phần bằng nhau, tức là:
\[
\angle ABD = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{57^\circ}{2} = 28.5^\circ
\]
và
\[
\angle DBC = 28.5^\circ
\]

3. **Xác định các góc khác**:
- Ta có \( \angle ABD + \angle DBC + \angle ADB = 180^\circ \). Từ đó, ta tính được \( \angle ADB \):
\[
\angle ADB = 180^\circ - 28.5^\circ - 90^\circ = 61.5^\circ
\]

4. **Xác định điểm \( E \)**: Vì \( BA = BE \), tam giác \( ABE \) là tam giác đều tại \( A \). Vậy \( \angle ABE = \angle A = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ \).

5. **Tính góc \( \angle E \)**: Ta cần tính số đo góc \( \angle EBA \), mà hiện tại có \( \angle ABE \) và \( \angle ABD \) với \( BE = BA \).

- Áp dụng góc bù trong tam giác \( ABE \):
\[
\angle EBA + \angle ABE = 90^\circ \quad \text{(1)}
\]
Nhưng từ các thông tin đã tính, ta cũng biết rằng:
\[
\angle ABE = 33^\circ
\]
Do đó:
\[
\angle EBA = 90^\circ - 33^\circ = 57^\circ \quad \text{(2)}
\]

6. **Góc tổng**: Cuối cùng, ta tính góc \( \angle EBC \):
\[
\angle EBC = \angle ABD = 28.5^\circ
\]

7. **Sử dụng góc trong tam giác**: Tính góc \( \angle E \):
\(
\angle E = 180^\circ - (\angle EBA + \angle EBC) = 180^\circ - (57^\circ + 28.5^\circ)
\)
\[
= 180^\circ - 85.5^\circ = 94.5^\circ
\]

Do đó, số đo góc \( \angle E \) là \( 94.5^\circ \).