Để rút gọn biểu thức \( P \), ta sẽ làm từng phần một.

Biểu thức đầu tiên là:

\[
P = \frac{\sqrt{x}}{x - 4}
\]

Biểu thức thứ hai là:

\[
\frac{2}{2 - \sqrt{x}}
\]

Để rút gọn biểu thức này, nhân tử chung cho cả số và mẫu:

\[
\frac{2}{2 - \sqrt{x}} \cdot \frac{2 + \sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} = \frac{2(2 + \sqrt{x})}{(2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})} = \frac{2(2 + \sqrt{x})}{4 - x}
\]

Biểu thức thứ ba là:

\[
\frac{1}{\sqrt{x} + 2}
\]

Bây giờ chúng ta kết hợp lại:

\[
P = \frac{\sqrt{x}}{x - 4} + \frac{2(2 + \sqrt{x})}{4 - x} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
\]

Biểu thức thứ hai có thể viết lại là:

\[
-\frac{2(2 + \sqrt{x})}{x - 4}
\]

Vậy ta có:

\[
P = \frac{\sqrt{x}}{x - 4} - \frac{2(2 + \sqrt{x})}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
\]
\[
= \frac{\sqrt{x} - 4 - 2\sqrt{x}}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
\]
\[
= \frac{-\sqrt{x} - 4}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
\]

### Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) nhận giá trị nguyên

Để \( P \) nhận giá trị nguyên, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên cho \( x \) sao cho các phân thức trên nguyên.

1. **Điều kiện tồn tại**: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \).
2. **Tìm nghiệm**:
- Thay các giá trị nguyên vào biểu thức đã rút gọn và kiểm tra xem giá trị đó có phải là số nguyên không.

**Giá trị thử nghiệm**:
- Với \( x = 0 \): \( P = \) không xác định.
- Với \( x = 1 \):
- Với \( x = 2 \)
- Với \( x = 3 \)
- Với \( x = 5 \), \( x = 6 \), ...

Tiếp tục thay vào cho đến khi tìm được các giá trị nguyên phù hợp.

Người dùng có thể thực hiện công thức thành công qua các giá trị thử nghiệm khác nhau theo yêu cầu.