Để chứng minh rằng bốn điểm \(D, E, I, C\) cùng thuộc một đường tròn, ta có thể áp dụng định lý về các điểm cùng nằm trên một đường tròn (gọi là định lý đồng vị). Dưới đây là các bước chứng minh:

### Chứng minh bốn điểm \(D, E, I, C\) cùng thuộc một đường tròn:

1. **Góc nội tiếp**:
- Theo định nghĩa của góc nội tiếp và tính chất của tiếp tuyến, ta có:
\[
\angle CAE = \angle CIE
\]
- Vì \(Ax\) là tiếp tuyến tại \(A\), mà \(E\) là giao điểm của tiếp tuyến \(Ax\) và đường tròn, nên \(AE\) là bán kính kéo dài đến tiếp tuyến.

2. **Góc ở tâm**:
- Từ điểm \(D\), ta khảo sát góc \(DIC\). Ta có:
\[
\angle DIC = \angle CAE
\]
- Do đó, ta suy ra rằng:
\[
\angle DIC = \angle CIE
\]

3. **Trường hợp đồng dạng**:
- Các góc \(\angle DIC\) và \(\angle CIE\) đều bằng nhau, và \(C\) cũng là điểm bất kỳ nằm trên đường tròn chứa \(E\) và \(D\).

4. **Kết luận**:
- Theo định lý góc nội tiếp cho thấy ba điểm \(D, I, E\) nằm trên một đường tròn, và do đó:
\[
D, E, I, C \text{ cùng thuộc một đường tròn}
\]

### Tiến hành chứng minh cho các phần còn lại:

b) **Chứng minh rằng \(\triangle ABD\) cân**:
- Vì \(AB\) là đường kính, \(D\) nằm trên đường tròn, suy ra \(\angle ADB = 90^\circ\).
- Từ đó, ta có thể thấy rằng \(\triangle ABD\) sẽ có hai cạnh bằng nhau (tương ứng với hai góc ở \(A\) và \(B\)), nên \(\triangle ABD\) là tam giác cân.

c) **Chứng minh rằng \(DI \perp AB\)**:
- Bằng cách xem xét tính chất của giao điểm \(I\) và góc giữa các tiếp tuyến tại điểm \(A\), ta có thể khẳng định rằng \(DI\) sẽ vuông góc với đoạn thẳng \(AB\).

Tóm lại, từ các bước chứng minh trên, ta đã giải quyết thành công bài toán đã đưa ra.