Để rút gọn biểu thức \( C = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{20} \), chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của cấp số nhân.

1. **Rút gọn C:**

Công thức tổng của một cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]

trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu,
- \( q \) là công bội,
- \( n \) là số hạng.

Trong trường hợp này:
- \( a = 5 \),
- \( q = 5 \),
- \( n = 20 \).

Thay vào công thức:

\[
C = 5 \frac{5^{20} - 1}{5 - 1} = 5 \frac{5^{20} - 1}{4}
\]

Vậy, \( C \) được rút gọn thành:

\[
C = \frac{5^{21} - 5}{4}
\]

2. **Chứng minh rằng:**

a) **C chia hết cho 5:**

Nhìn vào biểu thức \( C = \frac{5^{21} - 5}{4} \):

- \( 5^{21} - 5 = 5(5^{20} - 1) \) là một số chắc chắn chia hết cho 5.
- Do đó, cả \( C \) cũng chia hết cho 5 vì \( \frac{5(5^{20} - 1)}{4} \).

b) **C chia hết cho 6:**

- Để chứng minh \( C \) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng \( C \) chia hết cho cả 2 và 3.

- \( C \) là dạng \(\frac{5^{21} - 5}{4}\) mà \( 5^{21} - 5 \) là số chẵn (vì \( 5^k \) với \( k > 0 \) luôn là số lẻ, nên \( 5^{21} - 5 \) là số chẵn).

- Do đó, \( C \) chia hết cho 2.

- Để kiểm tra chia hết cho 3, ta dùng định lý phân phối. \( 5 \equiv 2 \mod 3 \):

\[
5^{21} \equiv 2^{21} \equiv 2 \mod 3
\]

\[
5^{21} - 5 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 3
\]

Vậy \( 5^{21} - 5 \) chia hết cho 3. Điều này cho thấy rằng \( C \) chia hết cho 3.

Suy ra \( C \) chia hết cho 6.

c) **C chia hết cho 13:**

Chúng ta kiểm tra \( C \) bằng cách xét \( 5^{21} - 5 \) modulo 13.

- Theo định lý Fermat, vì 5 và 13 là số nguyên tố cùng nhau, ta có:

\[
5^{12} \equiv 1 \mod 13
\]

- Do đó,

\[
5^{21} = 5^{12 \cdot 1 + 9} \equiv 5^9 \mod 13
\]

Bây giờ tính \( 5^9 \mod 13 \):

\[
5^2 \equiv 25 \equiv 12 \equiv -1 \mod 13
\]
\[
5^4 \equiv (-1)^2 \equiv 1 \mod 13
\]
\[
5^8 \equiv 1 \mod 13
\]
\[
5^9 \equiv 5 \mod 13
\]

Vì vậy,

\[
5^{21} \equiv 5 \mod 13 \Rightarrow 5^{21} - 5 \equiv 0 \mod 13
\]

Do đó, \( C = \frac{5^{21} - 5}{4} \) cũng phải chia hết cho 13.

**Kết luận:**

- 1) \( C = \frac{5^{21} - 5}{4} \)
- 2) C chia hết cho 5, 6, và 13.