Cho đường tròn (O; 3 cm), đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm C sao cho BC = 3cm

Để giải bài tập này, chúng ta lần lượt thực hiện các yêu cầu đã cho.

**a) Tính độ dài cung nhỏ BC và diện tích hình quạt tròn OBC.**

1. **Tìm góc ở tâm O:**
- Đường tròn (O) có bán kính R = 3 cm nên đường kính AB = 2R = 6 cm.
- Ta có điểm C nằm trên đường tròn (O) và BC = 3 cm. Do đó, vào tam giác BOC, chiều dài BC (3 cm) chính là cạnh kề, còn OB chính là bán kính (3 cm).
- Sử dụng định lý lượng giác, ta có:
\[
\cos(\angle BOC) = \frac{OB^2 + OC^2 - BC^2}{2 \cdot OB \cdot OC} = \frac{3^2 + 3^2 - 3^2}{2 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}
\]
- Do đó, \(\angle BOC = 60^\circ\) (hoặc \(\frac{\pi}{3}\) radian).

2. **Tính độ dài cung nhỏ BC:**
- Độ dài cung BC được tính bằng công thức:
\[
L_{BC} = R \cdot \theta,
\]
trong đó R là bán kính và \(\theta\) là góc ở tâm (đơn vị radian).
- Áp dụng vào trường hợp này:
\[
L_{BC} = 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi \text{ cm} \approx 3.14 \text{ cm}.
\]

3. **Tính diện tích hình quạt tròn OBC:**
- Diện tích hình quạt được tính bằng công thức:
\[
S_{OBC} = \frac{1}{2} R^2 \theta.
\]
- Áp dụng vào các giá trị đã cho:
\[
S_{OBC} = \frac{1}{2} \cdot 3^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} \text{ cm}^2 \approx 4.71 \text{ cm}^2.
\]

**b) Chứng minh MN = MA + NB:**

1. **Tính độ dài MA và NB:**
- Bởi vì MA và MB là các tiếp tuyến từ các điểm A và B đến điểm C trên đường tròn, nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
$$ MC = MA = MB = 3 \text{ cm} $$ (vì MA và MB đều là nối từ điểm A, B với điểm C).
- Kết quả là:
$$ MA = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{(3)^2 - (3)^2} = \sqrt{0} = 0 \text{ cm} $$
và
$$ NB = \sqrt{OB^2 - OC^2} = \sqrt{(3)^2 - (3)^2} = \sqrt{0} = 0 \text{ cm}. $$

2. **Tính toán MN:**
- M và N là các điểm tiếp nối với đường tròn tại C, đại diện cho khoảng cách tại vị trí tiếp tuyến.
- Căn cứ vào tính chất, đoạn thẳng MN sẽ bằng tổng khoảng cách từ A đến M và từ B đến N, do đó:
\[
MN = MA + NB.
\]

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành yêu cầu của bài tập.