Cho hàm số \( f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}, & \text{ khi } x > 1 \\ -x^2 + m, & \text{ khi } x \leq 1 \end{cases} \)

Đối với hàm số \( f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}, & \text{ khi } x > 1 \\ -x^2 + m, & \text{ khi } x \leq 1 \end{cases} \), ta sẽ kiểm tra từng yêu cầu:

### a) Hàm số xác định trên \( \mathbb{R} \)
- Đối với \( x > 1\): Biểu thức \( \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} \) xác định với tất cả \( x > 1 \).
- Đối với \( x \leq 1\): Biểu thức \( -x^2 + m \) cũng xác định với tất cả \( x \leq 1 \).

=> Hàm số \( f(x) \) xác định trên \( \mathbb{R} \) là đúng.

### b) Tính \( f(1) \)
- Từ biểu thức \( f(x) \) đối với \( x \leq 1 \):
\[
f(1) = -1^2 + m = -1 + m.
\]

=> Đây là phát biểu đúng.

### c) Tính giới hạn \( \lim_{x \to 1} f(x) \)
- Tính giới hạn từ bên trái, với \( x \to 1^- \):
\[
\lim_{x \to 1^-} f(x) = -1^2 + m = -1 + m.
\]
- Tính giới hạn từ bên phải, với \( x \to 1^+ \):
\[
\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{\sqrt{1+3}-2}{1-1} \;\text{(không xác định)}.
\]
Để sử dụng định nghĩa giới hạn đúng, giới hạn từ bên phải phải được xem xét kỹ hơn:

Dễ dàng nhận thấy giới hạn từ bên phải cần kiểm tra:
\[
\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}.
\]
Áp dụng quy tắc L'Hôpital vì biểu thức dạng \( \frac{0}{0} \):

\[
\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+3}}}{1} = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}.
\]

=> Vậy theo điều kiện liên tục tại 1, chúng ta cần \( -1 + m = \frac{1}{4} \) tức là \( m = \frac{5}{4} \).

### d) Tính \( m \) để hàm số liên tục tại \( x = 1 \)
Từ kết quả ở trên, điều kiện liên tục yêu cầu:
\[
-1 + m = \frac{1}{4} \Rightarrow m = \frac{5}{4}.
\]
Đề bài hỏi \( m = -\frac{3}{4} \) là không đúng.

### Kết luận
Tất cả các đề bài đều đúng ngoại trừ phần hỏi về m: hàm số liên tục tại \( x = 1 \) khi \( m = \frac{5}{4} \), không phải \( m = -\frac{3}{4} \).