Tính các giới hạn sau:

Để tính các giới hạn trong bài toán này, ta sẽ phân tích từng giới hạn một.

### a) \( \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + n + 1}{3\sqrt{n} - n^2} \)

Chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \):
\[
= \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{\frac{3\sqrt{n}}{n^2} - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + 0 + 0}{0 - 1} = -2
\]

### b) \( \lim_{n \to \infty} \frac{3n + 1}{n^2 - n + 2} \)

Chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \):
\[
= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}} = 0
\]

### c) \( \lim_{n \to \infty} \frac{-4n^3 + n^2 - 5}{n^2 + 3n - 2} \)

Chia cả tử và mẫu cho \( n^3 \):
\[
= \lim_{n \to \infty} \frac{-4 + \frac{1}{n} - \frac{5}{n^3}}{0 + \frac{3}{n} - \frac{2}{n^3}} = -4
\]

### d) \( \lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 2 \cdot 5^n}{3n + 6 \cdot 5^n} \)

Rút gọn mẫu:
\[
= \lim_{n \to \infty} \frac{-2 \cdot 5^n(1 - \frac{4^n}{2 \cdot 5^n})}{3n + 6 \cdot 5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{-2(1 - \frac{2^n}{5^n})}{0 + 6} = \lim_{n \to \infty} \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}
\]

### e) \( \lim_{n \to \infty} \sqrt{4n^2 + 3n + 1 - n} \)

Chia cho \( n^2 \):
\[
= \lim_{n \to \infty} \sqrt{4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n}} = \sqrt{4} = 2
\]

### f) \( \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n + 9} - n \right) \)

Chia cho \( n \):
\[
= \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{1 + \frac{5}{n} + \frac{9}{n^2}} - 1 \right) = 0
\]

Tóm lại, các giới hạn là:
- (a) \(-2\)
- (b) \(0\)
- (c) \(-4\)
- (d) \(-\frac{1}{3}\)
- (e) \(2\)
- (f) \(0\)