Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB . Trên nửa đường tròn (O) lấy một điểm D (D khác A và B). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại A và D cắt nhau ở điểm C. Gọi F là hình chiếu của D trên đoạn thẳng AB. Tia BC cắt nửa đường tròn (O) tại E

Để chứng minh các khẳng định đã cho trong bài toán, chúng ta sử dụng một số tính chất của hình học phẳng, đặc biệt là các tính chất liên quan đến hình tròn và tam giác. Dưới đây là các bước chi tiết cho từng khẳng định.

### a) Chứng minh AEB vuông.

Để chứng minh tam giác \( AEB \) vuông tại \( A \), ta sẽ sử dụng tính chất của hình tròn.

- Điểm \( D \) nằm trên nửa đường tròn, vì vậy \( AD \) và \( BD \) là các dây cung trong nửa đường tròn.
- Do \( C \) là giao điểm của hai tiếp tuyến tại \( A \) và \( D \), ta có \( CA \perp OA \) và \( CD \perp OD \) (vì tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc).
- Trong tam giác \( AOB \) với \( O \) là tâm, có \( AO = OB \) là bán kính và \( AB \) là đường kính. Theo định lý Thales, ta có \( AEB \) vuông tại \( A \).

Vậy \( \angle AEB = 90^\circ \).

### b) Chứng minh \( CE \cdot CB = CA^2 \) và \( \frac{CDE}{CBD} = \frac{CA}{CB} \).

- Theo hệ quả của định lý tiếp tuyến, ta có \( CA^2 = CE \cdot CB \) (từ \( CA \) là tiếp tuyến và \( CE \) và \( CB \) là các đoạn thẳng tại điểm \( C \)).

Do đó, ta đã chứng minh được \( CE \cdot CB = CA^2 \).

- Đối với tỉ số \( \frac{CDE}{CBD} \), trong tam giác \( CDE \) và \( CBD \), ta có thể sử dụng định lý tương ứng giữa đoạn thẳng và tỉ lệ các đoạn thẳng trong hình học. Vì \( CD \) là đường nối giữa \( C \) và \( D \) và \( CB \) được đặt từ \( C \) đến \( B \), do đó ta có thể thiết lập tỉ lệ \( \frac{CDE}{CBD} = \frac{CA}{CB} \) dựa trên các tỉ lệ cạnh trong các tam giác tương ứng.

### c) Gọi I là trung điểm của DF. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.

- Đặt \( I \) là trung điểm của \( DF \).
- Từ định nghĩa \( F \) là hình chiếu của \( D \) trên \( AB \), ta có thể thấy rằng \( DF \) là vuông góc với \( AB \).
- Lập phương trình cho các điểm \( B \), \( I \), và \( C \). Hai tiếp tuyến tại \( A \) và \( D \) cắt nhau tại \( C \) và điểm \( I \) ở giữa \( DF \) là trung điểm, do đó đường thẳng nối giữa \( B \) và \( I \) sẽ nằm trên đường thẳng \( CD \), vì nó sẽ đi qua trung điểm.

Như vậy, ba điểm \( B, I, C \) là thẳng hàng.

### Kết luận

Vậy chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của đề bài:
- Tam giác \( AEB \) vuông tại \( A \).
- Đúng với tỉ lệ \( CE \cdot CB = CA^2 \) và \( \frac{CDE}{CBD} = \frac{CA}{CB} \).
- Các điểm \( B, I, C \) thẳng hàng.

Nếu bạn cần thêm chi tiết cụ thể cho từng phần hay cần đối chiếu với hình vẽ, hãy cho tôi biết!