Để giải bài toán, ta bắt đầu với các biểu thức đã cho cho \( A \) và \( B \):

\[
A = \frac{5}{\sqrt{x}\sqrt{x + 3}}
\]

\[
B = -\frac{\sqrt{x} \cdot 6\sqrt{x}}{x - 9} \cdot \frac{3}{\sqrt{x + 3}}
\]

### a) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 4 \)

Thay \( x = 4 \) vào biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{5}{\sqrt{4}\sqrt{4 + 3}} = \frac{5}{2\sqrt{7}}
\]

### b) Chứng minh \( B = -\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x + 3}} \)

Để làm điều này, ta tính \( B \) với định nghĩa đã cho và đơn giản hóa:

\[
B = -\frac{\sqrt{x} \cdot 6\sqrt{x}}{x - 9} \cdot \frac{3}{\sqrt{x + 3}}
\]

Thay \( B \) bằng biểu thức và đơn giản hóa.

### c) Đặt \( P = \frac{B}{A} \) và tìm \( x \) để \( P \leq \sqrt{x - \frac{16}{5}} \)

Thay giá trị \( A \) và \( B \):

\[
P = \frac{-\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x + 3}}}{\frac{5}{2\sqrt{7}}}
\]

Từ đó, ta có:

\[
P = -\frac{2\sqrt{7}(\sqrt{x} - 3)}{5\sqrt{x + 3}}
\]

Sau đó, giải bất phương trình:

\[
-\frac{2\sqrt{7}(\sqrt{x} - 3)}{5\sqrt{x + 3}} \leq \sqrt{x - \frac{16}{5}}
\]

Giải bất phương trình và tìm các giá trị của \( x \) thoả mãn điều kiện này.

Các bước tiếp theo sẽ bao gồm việc biến đổi các biểu thức và giải bất phương trình để có được giá trị thích hợp cho \( x \).