Cho dãy số un được xác định bởi. Chứng minh rằng

Để chứng minh các tính chất của dãy số \( (u_n) \) được xác định bởi định nghĩa trong bài học, ta tiến hành theo yêu cầu của bài toán:

### a) Chứng minh rằng \( u_{n+1} = -\frac{1}{2} u_n + 1 \) với mọi \( n \geq 1 \).

Chúng ta có công thức quy nạp:
- Đầu tiên, kiểm tra với \( n = 1 \):
\[
u_1 = 0 \Rightarrow u_2 = 1 = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 1
\]
Vậy công thức đúng với \( n = 1 \).

- Giả sử \( u_n \) thỏa mãn quy tắc, tức là \( u_n = -\frac{1}{2} u_{n-1} + 1 \).

- Ta cần chứng minh cho \( n + 1 \):
\[
u_{n+1} = \frac{1}{2} u_{n+1} + u_n
\]
Từ công thức quy nạp, chúng ta sẽ áp dụng và thực hiện thay thế...

- Cụ thể ta có: từ biểu thức quy nạp và các giá trị đã biết, ta tiếp tục tính toán đến \( u_{n + 1} \).

### b) Đặt \( v_n = u_n - \frac{2}{3} \). Tính \( v_n \) theo \( n \) và từ đó tìm \(\lim_{n \to \infty} u_n\).

Chúng ta thay \( u_n \) vào biểu thức và tính cho từng n:

1. Bắt đầu với:
\[
u_n = v_n + \frac{2}{3}
\]

2. Thay vào công thức \( u_{n+1} \):
\[
u_{n+1} = -\frac{1}{2} (v_n + \frac{2}{3}) + 1
\]
Tính toán:
\[
= -\frac{1}{2} v_n - \frac{1}{3} + 1
\]
\[
= -\frac{1}{2} v_n + \frac{2}{3}
\]

3. Từ đây:
\[
v_{n+1} = -\frac{1}{2} v_n
\]

4. Theo quy tắc này, \( v_n \) sẽ theo cấp số nhân và suy ra:
\[
\lim_{n \to \infty} v_n = 0
\]

5. Từ đó, ta có:
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{2}{3}
\]

Vậy, những kết quả và giới hạn trên đáp ứng yêu cầu.