Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta sẽ làm từng phần một.

### Phần a) Chứng minh AH là tia phân giác của góc BAC

1. Xét tam giác ABC với AB = AC.
2. Gọi H là trung điểm của BC, nghĩa là BH = HC.
3. Theo định nghĩa của tia phân giác, ta cần chứng minh rằng \(\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{CH}\).
4. Vì AB = AC nên \(\frac{AB}{AC} = 1\).
5. Từ H là trung điểm của BC, ta có BH = HC. Do đó, \(\frac{BH}{CH} = \frac{1}{1} = 1\).
6. Kết luận: Từ điều trên, ta có \(\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{CH}\), điều đó chứng tỏ rằng AH là tia phân giác của góc BAC.

### Phần b) Chứng minh AH vuông góc với BC

1. Để chứng minh AH vuông góc với BC, ta sẽ chứng minh rằng hai tam giác ABH và ACH là giống nhau (đồng dạng).
2. Ta đã biết rằng AB = AC, BH = HC (vì H là trung điểm) và AH là chung.
3. Theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CC), ta có:
- AB = AC
- BH = HC
- AH = AH
4. Vì vậy, tam giác ABH đồng dạng với tam giác ACH, từ đó suy ra rằng góc ABH bằng góc ACH.
5. Do đó, AH vuông góc với BC.

### Phần c) Chứng minh CK // AB

1. Từ phần trước, ta đã xác định rằng AH vuông góc với BC.
2. Lấy điểm K trên tia đối của tia HA sao cho HA = HK.
3. Đoạn HK cũng vuông góc với BC do HA = HK và cả hai đoạn này đều tạo thành một cặp góc đối diện đồng thời vuông góc với BC.
4. Khi đó, góc AHK = 90 độ và góc HKA = 90 độ, suy ra HK // AB (hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng BC).

### Phần d) Chứng minh CI vuông góc với AC

1. Kẻ CI vuông góc với BK.
2. Ta có 2 tam giác CAK và CBK. Nếu K là điểm cách đều từ A và H (tức HK = HA) và H là trung điểm của BC, thì điểm I nằm trên đường thẳng BC và kéo dài từ BK tới AC.
3. Nếu CI vuông góc với BK và BK vuông góc với AB, thì từ đó có CI vuông góc với AC.

### Kết luận:
Từ những chứng minh trên, ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.