Để giải bài toán tìm các số tự nhiên \( a, b \) thỏa mãn phương trình:

\[
(5^a + 1)(5^a + 2) = 3^b + 41
\]

Bắt đầu bằng cách tính giá trị bên trái, ta có:

\[
(5^a + 1)(5^a + 2) = 5^{2a} + 2 \cdot 5^a + 5^a + 2 = 5^{2a} + 3 \cdot 5^a + 2
\]

Do đó, ta có phương trình:

\[
5^{2a} + 3 \cdot 5^a + 2 = 3^b + 41
\]

Sắp xếp lại phương trình một chút, được:

\[
5^{2a} + 3 \cdot 5^a - 3^b - 39 = 0
\]

Tiếp tục thử một số giá trị nhỏ của \( a \):

1. **Khi \( a = 0 \)**:
\[
5^{2 \cdot 0} + 3 \cdot 5^0 + 2 = 1 + 3 + 2 = 6
\]
Đặt vào phương trình:
\[
6 = 3^b + 41 \implies 3^b = 6 - 41 = -35 \quad (\text{sai})
\]

2. **Khi \( a = 1 \)**:
\[
5^{2 \cdot 1} + 3 \cdot 5^1 + 2 = 25 + 15 + 2 = 42
\]
Đặt vào phương trình:
\[
42 = 3^b + 41 \implies 3^b = 42 - 41 = 1 \implies b = 0
\]

Vậy ta có một cặp nghiệm: \( (a, b) = (1, 0) \).

3. **Khi \( a = 2 \)**:
\[
5^{2 \cdot 2} + 3 \cdot 5^2 + 2 = 625 + 75 + 2 = 702
\]
Đặt vào phương trình:
\[
702 = 3^b + 41 \implies 3^b = 702 - 41 = 661 \quad (\text{sai})
\]

4. **Khi \( a = 3 \)**:
\[
5^{2 \cdot 3} + 3 \cdot 5^3 + 2 = 15625 + 375 + 2 = 16002
\]
Đặt vào phương trình:
\[
16002 = 3^b + 41 \implies 3^b = 16002 - 41 = 15961 \quad (\text{sai})
\]

Từ những giá trị thử, thấy rằng số lượng tăng lên rất nhanh, đã có nghiệm duy nhất:

\[
\text{Nghiệm duy nhất là } (a, b) = (1, 0).
\]

Vậy câu trả lời là:

\[
(a, b) = (1, 0).
\]