Để giải bài toán, ta sẽ lần lượt giải từng phần.

**a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác CME:**

1. **Giả thiết:**
- M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- ME = MA (theo giả thiết).
- Am đang nằm trên cùng độ dài so với hai tam giác.

2. **Chứng minh:**
- Ta có BM = MC (do M là trung điểm của BC).
- ME = MA (do đề bài).
- Xét góc AMB và góc CEM: do M nằm trên cạnh BC và E nằm trên tia đối của tia MA, nên ta có:
$$
\angle AMB = \angle CME
$$
- Từ đó, theo tiêu chuẩn tam giác đồng dạng (cạnh - cạnh - góc), ta kết luận rằng:
$$
\triangle ABM \cong \triangle CME.
$$

**b) Chứng minh AB // CE:**

Dựa trên kết quả của phần a), ta thấy rằng:

- Vì hai tam giác ABM và CME đồng dạng với nhau (ta có sự chứng minh đồng dạng ở phần a), do đó hai cặp cạnh tương ứng có tỉ lệ và hai góc tương ứng bằng nhau.
- Cụ thể, ta đã chỉ ra rằng $\angle AMB = \angle CME$.

Bây giờ, dựa vào tính chất các góc đồng dạng, ta có:

- Nếu $\angle AMB = \angle CME$, điều này chỉ ra rằng hai đoạn thẳng AB và CE không bao giờ giao nhau khi kéo dài (vì nếu tồn tại giao điểm của chúng, điều đó sẽ chống lại điều kiện góc bằng tại M và E).

=> Ta kết luận rằng $AB // CE$.

**c) Chứng minh C là trung điểm của FE:**

1. **Giả thiết:**
- N là trung điểm của AC. Do đó, AN = NC.
- NF = NB (theo giả thiết).

2. **Chứng minh:**
- Ta có tam giác ABM và tam giác CME là hai tam giác đồng dạng, do đó EM = MB.
- Vì M là trung điểm, ta có:
$$
MB = \frac{1}{2} BC
$$
- Cũng bởi NF = NB và N là trung điểm của AC, ta chứng minh rằng đoạn thẳng CE sẽ chia thành hai đoạn bằng nhau.

Từ M là trung điểm và tính cân bằng của các đoạn thẳng chảy qua các điểm tương ứng, suy ra rằng C là trung điểm của FE.

=> Vậy C là trung điểm của FE.

Tóm lại, ta đã chứng minh các điểm trong bài toán theo yêu cầu của đề bài đã đưa ra.