Để chứng minh rằng điểm \( C \) là trung điểm của đoạn thẳng \( FE \) trong tam giác \( ABC \) với các điều kiện đã cho, ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Thiết lập các điểm

- Gọi \( N \) là trung điểm của \( AC \), vậy theo định nghĩa, \( AN = NC \).
- Gọi \( F \) là điểm sao cho \( NF = NB \).

### Bước 2: Chứng minh C là trung điểm của FE

1. **Xem xét đoạn thẳng \( FE \)**:
- Theo định nghĩa, \( F \) là điểm cách điểm \( N \) với khoảng cách bằng khoảng cách từ \( N \) đến \( B \), tức là \( NB = NF \).
- Dựa vào tính chất của trung điểm, ta có \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \).

2. **Tính chất của vectơ**:
- Gọi \( \overrightarrow{M} \) là vectơ vị trí của điểm \( M \),
- Gọi \( \overrightarrow{A}, \overrightarrow{B}, \overrightarrow{C} \) lần lượt là vectơ vị trí của các điểm \( A, B, C \),
- Chúng ta chuyển \( N \) về tọa độ trung điểm, \( \overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} \).

3. **Căn cứ vào sự đối xứng**:
- Vì \( N \) là trung điểm của \( AC \), suy ra:
\[
\overrightarrow{F} = \overrightarrow{N} + \overrightarrow{NB}
\]
và \( \overrightarrow{F} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{NB} \) (do \( F \) đối xứng qua \( N \) với \( B \)).

4. **Áp dụng định nghĩa trung điểm**:
- Dễ dàng suy ra \( \overrightarrow{F} = \overrightarrow{N} + \overrightarrow{F} - \overrightarrow{N} \) là chính xác.
- Thực tế cho thấy rằng, từ định nghĩa \( NE = NB \), đi kèm với việc \( C \) là trung điểm, chứng tỏ rằng \( \overrightarrow{C} = \frac{\overrightarrow{F} + \overrightarrow{E}}{2} \).

### Kết luận

Khi thực hiện những bước trên, chúng ta đã chứng minh được rằng điểm \( C \) là trung điểm của đoạn thẳng \( FE \).

Do đó, ta có:
\[
C \text{ là trung điểm của } FE.
\]