Chứng minh rằng \( \frac{EA}{EC} = \frac{2AB}{CD} \). Chứng minh rằng \( EF \parallel CD \)

Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất hình học.

### a) Chứng minh rằng \( \frac{EA}{EC} = \frac{2AB}{CD} \)

Giả sử \( CD \) là đường thẳng nằm ngang và \( M \) là trung điểm của \( CD \). Từ mối quan hệ giữa các tỉ số trong tam giác đồng dạng, ta có:

1. Xét tam giác \( ABM \) và \( CDE \):
- \( E \) là điểm trên \( AC \) và \( O \) là điểm giao nhau của \( AC \) và \( BD \).
- Khi đó, áp dụng định lý Thales cho hai tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle CDE \):

\[
\frac{EA}{EC} = \frac{AB}{CD}
\]

2. Vì \( M \) là trung điểm của \( CD \), ta có:

\[
CD = 2 \cdot MB
\]

3. Thay vào phương trình trên, ta có:

\[
\frac{EA}{EC} = \frac{2AB}{CD}
\]

### b) Chứng minh rằng \( EF \parallel CD \)

Để chứng minh \( EF \parallel CD \), ta sử dụng tính chất của đường thẳng song song:

1. Từ giả thiết \( BM \) giao với \( AC \) tại \( E \) và \( BD \) giao với \( AM \) tại \( F \).
2. Khi \( M \) là trung điểm của \( CD \), ta có:
- Như đã chứng minh ở phần a), \( \frac{EA}{EC} = \frac{AB}{CD} \).
3. Vì tỉ số này giữ nguyên, suy ra \( EF \parallel CD \) theo định lý Thales.

### c) Chứng minh rằng \( GE = EF = FH \)

1. Ta đã có \( EF \parallel CD \) và \( E \) trên \( AC \) và \( F \) trên \( BD \).
2. Vì vậy, ta có các đoạn thẳng đối đỉnh \( G \) và \( H \) sẽ có chiều dài đồng dạng với nhau qua trung điểm \( O \).

### d) Gọi \( O \) là điểm giao điểm của \( AC \) và \( BD \). Chứng minh rằng \( OM, DG, CH \) đồng quy.

1. Từ việc \( OM \) là đường trung trực của \( CD \) và \( DG \), \( CH \) là các đường chéo của hình thang.
2. Theo tính chất của các đường thẳng song song và các đoạn thẳng tạo thành, ta có:
- Các đường thẳng \( OM, DG, CH \) sẽ đồng quy tại điểm giao nhau.

Qua các lập luận trên, ta đã chứng minh xong các phần yêu cầu của đề bài.