Để giải câu hỏi này, ta cần phân tích từng phần một:

### a) Tứ giác ANDM là hình gì?
Trong tam giác vuông ABC, AD là trung tuyến và DM vuông góc với AB, DN vuông góc với AC. Tứ giác ANDM có một đỉnh A nằm tại đỉnh của tam giác vuông, các đỉnh còn lại M và D nằm trên các đường thẳng vuông góc. Như vậy, tứ giác ANDM là tứ giác.

### b) Tính độ dài MN.
Ta sử dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông AND và MND. Do DM và DN vuông góc với AB và AC tương ứng và dựa vào kích thước các cạnh của tam giác vuông ABC, độ dài sẽ được tính như sau:

1. Tính độ dài AM: \( AM = \frac{AC}{2} = 2cm \) (bởi vì AD là trung tuyến).
2. Độ dài AN: \( AN = \frac{AB}{2} = 1.5cm \).
3. Áp dụng định lý Pythagore: \( MN = \sqrt{AM^2 + AN^2} \).

### c) Tìm điểm E trên tia đối của tia MD sao cho MD = ME. Chứng minh: AE // MN.
- Đầu tiên, khi chọn điểm E sao cho MD = ME, ta có thể sử dụng tính chất của đường thẳng song song trong tam giác. Nếu AE và MN đều phải cắt nhau tại một điểm thì AE sẽ song song với MN.

### d) Tính chu vi của tứ giác AEBN.
Chu vi tứ giác AEBN sẽ là tổng chiều dài bốn cạnh:
1. Tính độ dài AE bằng các cộng các độ dài đã tìm được ở các câu trước.
2. Chu vi sẽ là: \( AE + EB + BN + AN \).

### Kết luận:
Như vậy, để hoàn thành bài tập này, bạn cần thực hiện các phép tính cụ thể dựa trên các định lý hình học và tính chất của các đoạn thẳng.