Để chứng minh bất đẳng thức \( -\frac{1}{2} \leq ab + bc + ca \leq 1 \) với điều kiện \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \), ta sẽ sử dụng một số kết quả từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và các tính chất của đại số.

### Bước 1: Chứng minh \( ab + bc + ca \leq 1 \)

Ta có:

\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)
\]

Từ điều kiện \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \), ta thay vào:

\[
(a + b + c)^2 = 1 + 2(ab + bc + ca)
\]

Do đó, ta có:

\[
ab + bc + ca = \frac{(a + b + c)^2 - 1}{2}
\]

Vì \( (a + b + c)^2 \geq 0 \) nên:

\[
\frac{(a + b + c)^2 - 1}{2} \leq 1 \implies (a + b + c)^2 \leq 3 \implies ab + bc + ca \leq 1
\]

### Bước 2: Chứng minh \( ab + bc + ca \geq -\frac{1}{2} \)

Ta dựa vào bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + a^2) \geq (ab + bc + ca)^2
\]

Thay \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \):

\[
1 \cdot 1 \geq (ab + bc + ca)^2 \implies (ab + bc + ca)^2 \leq 1
\]

Từ đây, ta có:

\[
-ab - ac - bc \leq 1 \implies ab + ac + bc \geq -1
\]

Giả sử \( x = ab + ac + bc \). Ta cần chứng minh:

\[
x \geq -\frac{1}{2}
\]

Rõ ràng từ \( \frac{1}{2} \) \((a+b+c)^2\):

\[
2(ab + ac + bc) = 1 - a^2 - b^2 - c^2 \geq -1
\]

### Kết luận

Từ hai phần chứng minh trên, chúng ta có:

\[
-\frac{1}{2} \leq ab + ac + bc \leq 1
\]

Do đó, điều phải chứng minh đã được xác nhận.