Để chứng minh bài toán này, chúng ta sẽ qua từng phần một.

### a. Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng BC. Khi đó, đoạn thẳng AO vuông góc với đoạn thẳng BC tại điểm D (vì AO là đường nối từ điểm A đến trung điểm của hai tiếp tuyến).

Vì B và C là các điểm tiếp xúc của hai tiếp tuyến từ A tới đường tròn, từ đó ta có:

- AB = AC (vì hai đoạn tiếp tuyến từ một điểm đến một đường tròn luôn bằng nhau).
- Do đó, tam giác AOB và AOC là hai tam giác bằng nhau (có cạnh AB = AC và OA là chung).
- Từ đó, góc AOB = góc AOC.

Vì vậy, bằng cách vẽ đường tròn đi qua bốn điểm A, B, O, C, ta có thể thấy A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn với O làm tâm.

### b. Chứng minh ∠AOC = ∠BDC
Ta cần chứng minh rằng hai góc này bằng nhau.

Từ việc AB và AC là hai tiếp tuyến với đường tròn (O, r), ta có:

- góc AOB = ∠1 (góc giữa hai tiếp tuyến)
- góc AOC = 2 × góc AOB (từ tính chất của các góc giữa tiếp tuyến và dây cung).

Đối với đường kính CD:

- Góc BDC là góc nội tiếp có cạnh BC là dây cung.
- Theo tính chất của góc nội tiếp, ta có ∠BDC = ∠AOB.

Vậy từ các mối quan hệ góc này, ta có:
\[
\angle AOC = 2 × \angle AOB = 2 × \angle BDC.
\]

Hay nói cách khác, một cách trực tiếp, đây chính là góc đối đỉnh, vì vậy ta có:
\[
\angle AOC = \angle BDC.
\]

### c. Chứng minh tiếp tuyến e với đường tròn song song với IP
Giả sử AD cắt đường tròn (O, r) tại điểm thứ hai là E.

Từ điểm E, nối tiếp tuyến với đường tròn, ta sẽ có một tiếp tuyến tại E và theo tính chất tiếp tuyến, tiếp tuyến từ E sẽ song song với đoạn thẳng IP (đường thẳng nối AE và tiếp tuyến).

Chúng ta có:

1. Góc IEC = góc nội tiếp tương ứng tại O.
2. Từ tính chất tiếp tuyến, tiếp tuyến tại E sẽ vuông góc với bán kính OE.
3. Bởi vậy, ta kết luận rằng tay tiếp tuyến tại E và đường thẳng AB (hay AC) song song với nhau.

Như vậy, tất cả các phần đều chứng minh rõ ràng rằng các điểm A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn, góc AOC bằng góc BDC và tiếp tuyến e tại điểm E song song với IP.