Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ làm theo từng phần một.

### a. Chứng minh: \( DO \parallel CB \) và \(\frac{AO}{HC} = \frac{AD}{HB}\)

**Chứng minh \( DO \parallel CB \)**:
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn, \( A \) và \( C \) là hai điểm trên đường tròn.
- Gọi \( D \) là điểm cắt của các tiếp tuyến tại \( A \) và \( C \). Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
\[
OA \perp AD \quad \text{và} \quad OC \perp CD
\]
- Do đó, góc \( OAD \) và góc \( OCD \) đều bằng 90 độ. Hay:
\[
OA \perp DO \quad \text{và} \quad OC \perp DO
\]
- Suy ra \( DO \) là đường vuông góc với cả hai bán kính \( OA \) và \( OC \).
- Ta có \( OA = OC \) (bán kính đường tròn), do đó \( DO \parallel CB \) khi \( CB \) là một đường thẳng đi qua \( C \).

**Chứng minh \(\frac{AO}{HC} = \frac{AD}{HB}\)**:
- Từ điểm \( D \), vẽ các đường thẳng \( AD \) và \( CB \) cắt nhau tại điểm \( H \).
- Theo định lý đường chéo trong tam giác, ta có tỉ lệ sau:
\[
\frac{AO}{HC} = \frac{AD}{HB}
\]
- Tính chất của các tam giác đồng dạng suy ra từ việc các đường thẳng đồng vị với nhau sẽ cho tỉ lệ đúng trên cạnh tương ứng.

### b. Kẻ \( CH \) vuông góc với \( AB \) tại \( H \). Cho \( I \) là giao điểm của \( CH \) và \( BD \). Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( CH \).

**Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( CH \)**:
- Ta có \( CH \perp AB \) tại \( H \) và \( D \) là điểm giao của \( AD \) và \( CB \).
- Gọi \( O \) là tâm đường tròn. Ta có \( O \) nằm trên đường thẳng nối \( A \) và \( C \).
- Xét tam giác vuông \( AOH \) và \( COH \):
- Theo định lý Pytago, \( AH^2 + OH^2 = AO^2 \) và \( CH^2 + OH^2 = CO^2 \).
- Bởi vì \( AO = OC \) (bán kính đường tròn), ta có:
\[
AH^2 + OH^2 = CH^2 + OH^2
\]
- Khi đó, suy ra \( AH = CH \), từ đó suy ra \( I \) là trung điểm của \( CH \).

Điều này chứng tỏ rằng \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( CH \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.