Chúng ta sẽ giải bài toán này từng bước.

Cho ba số \( a, b, c \) khác 0 thỏa mãn điều kiện:

\[
\frac{a+b}{c} = \frac{b+c}{a} = \frac{c+a}{b}
\]

Gọi giá trị chung của ba tỉ số này là \( k \). Như vậy, ta có:

1. \( \frac{a+b}{c} = k \) hay \( a+b = kc \)
2. \( \frac{b+c}{a} = k \) hay \( b+c = ka \)
3. \( \frac{c+a}{b} = k \) hay \( c+a = kb \)

Từ các phương trình trên, ta sẽ chuyển đổi chúng để tìm giá trị của \( a, b, c \).

Từ phương trình 1:
\[
a + b = kc
\]
Từ phương trình 2:
\[
b + c = ka
\]
Từ phương trình 3:
\[
c + a = kb
\]

Giờ ta sẽ sắp xếp lại từng phương trình để tìm giá trị liên kết giữa \( a, b, c \):

Từ \( a + b = kc \), ta có:
\[
c = \frac{a + b}{k}
\]

Từ \( b + c = ka \), thay c vào ta có:
\[
b + \frac{a+b}{k} = ka
\]
Nhân cả hai vế với \( k \):
\[
bk + a + b = k^2 a
\]
Sau đó ta có:
\[
bk + a + b - k^2 a = 0
\]
Hoặc:
\[
(bk + b) = (k^2 - 1)a
\]
Bây giờ tiếp tục từ phương trình thứ ba:
\[
c + a = kb
\]
Thay c vào:
\[
\frac{a+b}{k} + a = kb
\]
Nhân cả hai vế với \( k \):
\[
a + b + ak = k^2 b
\]
Đưa về dạng:
\[
a + b = k^2 b - ak
\]
Khi đó ta sẽ có hệ phương trình liên quan đến \( a, b, c \), nhưng để đơn giản hơn, chúng ta có thể tìm ra một số nghiệm cụ thể mà thỏa mãn.

Bây giờ, tính \( A = \frac{a}{b+c} + \frac{a+b}{c} \).

Lấy \( b = c \):
\[
c = \frac{2b}{k} \implies a + b = k c \implies a + b = k \frac{2b}{k} = 2b
\]
Hay \( a = b \).

Giả sử \( a = b = c \). Thay vào ta có:
\[
\frac{a+a}{a} = \frac{2a}{a} = 2
\]

Khi đó tính \( A \):
\[
A = \frac{a}{2a} + \frac{2a}{a} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}.
\]

Cuối cùng, sử dụng tính chất đối xứng và giá trị đó, ta có thể coi \( A = 2 \) khi 3 số bằng nhau.

Vậy:
\[
\boxed{2}
\] là một giá trị hợp lệ cho \( A \).

Do đối xứng, có thể xác nhận lại \( A \) ở đây có thể nhận giá trị khác nhưng với điều kiện \( a + b + c = 0 \) không khả thi, ta quay lại với \( a, b, c \) đều giống nhau cho mọi \( k \) cho chúng hoàn toàn thỏa mãn.