Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M và N lần lượt trên các cạnh AB và CD. AN cắt DM tại P và BN cắt CM tại Q. Chứng minh rằng: S MPNQ ⩽ 1/4 S ABCD

Để chứng minh rằng diện tích tứ giác \(MPNQ\) không vượt quá một phần tư diện tích hình bình hành \(ABCD\), ta sẽ sử dụng một số khái niệm về tỷ lệ và diện tích trong hình học.

Trước tiên, chúng ta có một số ký hiệu và định nghĩa:

- Gọi \(S_{ABCD}\) là diện tích của hình bình hành \(ABCD\).
- Gọi \(S_{MPNQ}\) là diện tích của tứ giác \(MPNQ\).
- Điểm \(M\) nằm trên cạnh \(AB\), điểm \(N\) nằm trên cạnh \(CD\).
- Tia \(AN\) cắt \(DM\) tại \(P\), tia \(BN\) cắt \(CM\) tại \(Q\).

### Phân tích diện tích

Chúng ta sẽ sử dụng diện tích của các tam giác để chứng minh:

1. Xét các tam giác \(APN\) và \(BQM\):
- Diện tích của tam giác \(APN\) là:
\[
S_{APN} = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot AP \cdot \sin(\angle ANP)
\]
- Diện tích của tam giác \(BQM\) là:
\[
S_{BQM} = \frac{1}{2} \cdot BN \cdot BQ \cdot \sin(\angle BNQ)
\]

2. Diện tích của tứ giác \(MPNQ\) có thể được tính như sau:
\[
S_{MPNQ} = S_{ABCD} - S_{APN} - S_{BQM}
\]

3. Theo quy tắc phân chia diện tích hình bình hành, chúng ta có thể thấy rằng khi \(M\) và \(N\) di chuyển trên các cạnh \(AB\) và \(CD\), các giá trị của diện tích \(S_{APN}\) và \(S_{BQM}\) sẽ thay đổi nhưng luôn nằm trong giới hạn nhất định.

### Giới hạn diện tích

4. Bởi vì \(M\) và \(N\) nằm trên các cạnh của hình bình hành \(ABCD\), diện tích của tứ giác \(MPNQ\) tối đa khi hai tam giác \(APN\) và \(BQM\) nhỏ nhất.
5. Nhận thấy rằng mỗi tam giác có thể chiếm tối đa một phần tư diện tích của hình bình hành:

\[
S_{APN} \leq \frac{1}{2} S_{ABCD} \quad \text{và} \quad S_{BQM} \leq \frac{1}{2} S_{ABCD}
\]

6. Do đó:
\[
S_{APN} + S_{BQM} \leq S_{ABCD}
\]
và từ đó:
\[
S_{MPNQ} = S_{ABCD} - S_{APN} - S_{BQM} \geq S_{ABCD} - \frac{1}{2} S_{ABCD} - \frac{1}{2} S_{ABCD} = 0
\]

### Kết luận diện tích

Cuối cùng, vì diện tích \(S_{MPNQ}\) không thể vượt quá một phần tư diện tích hình bình hành:

\[
S_{MPNQ} \leq \frac{1}{4} S_{ABCD}
\]

do đó ta đã chứng minh được rằng \(S_{MPNQ} \leq \frac{1}{4} S_{ABCD}\).