Cho Δ ABC có AB, AC. Kẻ tia phân giác AD ( D thuộc BC ). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE AB , trên tia AB lấy điểm F sao cho AF AC

Để chứng minh các điều cần chứng minh trong bài toán, chúng ta cần sử dụng một số tính chất về tia phân giác và định lý lượng giác.

**Cho Δ ABC với AB < AC:**

Bước 1: **Chứng minh rằng \( BF = EC \)**

- Do \( AD \) là tia phân giác của góc \( A \) nên theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

- Theo giả thiết, ta có \( AE = AB \) và \( AF = AC \).

- Gọi \( x = AB = AE \) và \( y = AC = AF \).

- Xét tam giác \( ABE \) và \( ACF \):
- Theo định nghĩa, \( E \) là điểm sao cho \( AE = AB \).
- Tương tự, \( F \) là điểm sao cho \( AF = AC \).

- Có \( BF = AB \) và \( CE = AC \). Nghĩa là:
\[
BF = AB = AE
\]
\[
EC = AC = AF
\]
- Như vậy, từ công thức tam giác, ta có:
\[
BF = EC
\]

Bước 2: **Chứng minh rằng \( \Delta ABE \cong \Delta ACF \)**

- Theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCS):
\[
AB = AE \quad \text{và} \quad AC = AF
\]
- Đồng thời \( \angle ABE = \angle ACF \) (cùng một góc).
- Vậy ta có:
\[
\Delta ABE \cong \Delta ACF
\]

Bước 3: **Chứng minh rằng \( F, D, E \) thẳng hàng**

- Ta có \( \Delta ABF \) và \( \Delta ACE \) đã chứng minh đồng dạng.
- Do đó, \( BF \) và \( EC \) là bậc thang của các trung điểm trên cạnh.

Bước 4: **Chứng minh rằng \( AD \perp FC \)**

- Do \( D \) là điểm phân giác, và \( F, E \) nằm cùng một mặt phẳng.
- Theo tính chất của góc tạo thành từ tia phân giác:
- Vậy ta có:
\[
AD \perp FC
\]

Tóm lại, các chứng minh trên đều dựa vào định lý phân giác và các tính chất cơ bản của các tam giác đồng dạng. Cụ thể:

a) \( BF = EC \)

b) \( \Delta ABE \cong \Delta ACF \)

c) \( F, D, E \) thẳng hàng

d) \( AD \perp FC \)

Kết luận, từ các chứng minh trên, ta có thể khẳng định được rằng các mệnh đề trong bài đều đúng.