Bác Toàn có một mảnh đất giáp với bờ sông. Bắc dự tính mua một tấm lưới sắt dài 180 mét để rào một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ABCD như hình. Biết rằng Bắc Toàn chỉ rào ba mặt của khu đất, mặt còn lại giáp với bờ sóng CD không rào để tiện lấy nước tưới rau. Hỏi Bắc Toàn phải rào khu đất trong ra vỉ kích thước như thế nào để diện tích lớn nhất

Để giải bài toán này, ta đặt kích thước của khu đất hình chữ nhật ABCD như sau:

- Gọi chiều dài của khu đất theo hướng song (CD) là \( x \).
- Gọi chiều rộng (AD hoặc BC) là \( y \).

Vì Bắc Toàn chỉ rào ba mặt của khu đất, ta có công thức cho chu vi mà Bắc Toàn cần rào như sau:

\[ x + 2y = 180 \]

Từ đó, ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):

\[ y = \frac{180 - x}{2} \]

Diện tích \( A \) của khu đất là:

\[ A = x \cdot y = x \cdot \frac{180 - x}{2} = \frac{x(180 - x)}{2} \]

Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của diện tích \( A \). Để làm điều này, ta sẽ lấy đạo hàm của diện tích và tìm điểm cực trị.

Bước 1: Tính đạo hàm của \( A \):

\[ A = \frac{180x - x^2}{2} \]

\[ A' = \frac{1}{2}(180 - 2x) = 90 - x \]

Bước 2: Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( A' = 0 \):

\[ 90 - x = 0 \]

Từ đó, ta có:

\[ x = 90 \]

Bước 3: Tính \( y \) khi \( x = 90 \):

\[ y = \frac{180 - 90}{2} = 45 \]

Bước 4: Kiểm tra tính chất cực trị bằng cách xem dấu của đạo hàm thứ hai:

\[ A'' = -1 \]

Vì \( A'' < 0 \), điều này chứng tỏ tại \( x = 90 \) là điểm cực đại.

Vậy kích thước khu đất để có diện tích lớn nhất là:

- Chiều dài \( x = 90 \) mét.
- Chiều rộng \( y = 45 \) mét.

Diện tích lớn nhất đạt được là:

\[ A = 90 \cdot 45 = 4050 \text{ mét vuông} \]

Bắc Toàn cần rào khu đất với kích thước 90m x 45m để diện tích lớn nhất.