Để giải bài toán này, trước tiên hãy xác định tọa độ của các điểm trong hình vuông ABCD có cạnh 6 cm.

Giả sử tọa độ các điểm là:
- A(0, 6)
- B(6, 6)
- C(6, 0)
- D(0, 0)

Đường chéo BD có phương trình từ B đến D. Tọa độ điểm B là (6, 6) và D là (0, 0).

Phương trình đường đi của BD có thể được tính từ độ dốc:
Độ dốc của BD là:
\[ m = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{0 - 6}{0 - 6} = 1 \]

Phương trình đường thẳng:
\[ y - 6 = 1(x - 6) \implies y = x \]

Bây giờ, chúng ta lấy điểm H thuộc đoạn thẳng BD. Nếu H có tọa độ (h, h) (với 0 < h < 6), thì:

a) Tính tọa độ trung điểm M của AH và N của DH:

- Tọa độ M:
\[
M = \left( \frac{0 + h}{2}, \frac{6 + h}{2} \right) = \left( \frac{h}{2}, \frac{6 + h}{2} \right)
\]

- Tọa độ N:
\[
N = \left( \frac{0 + h}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( \frac{h}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

Đoạn thẳng MN có tọa độ:
- M có tọa độ \( \left( \frac{h}{2}, \frac{6+h}{2} \right) \)
- N có tọa độ \( \left( \frac{h}{2}, \frac{h}{2} \right) \)

Tính độ dài đoạn thẳng MN:
\[
MN = |y_M - y_N| = \left| \frac{6 + h}{2} - \frac{h}{2} \right| = \left| \frac{6 + h - h}{2} \right| = \left| \frac{6}{2} \right| = 3
\]
Vậy, đoạn thẳng MN dài 3 cm.

**Giải thích:** Đoạn thẳng MN là một đường trung bình của hình thang AMND, với AM và DN là các cạnh còn lại của hình thang.

b) Xét điểm K là trung điểm của đoạn thẳng BC:
\[
K = \left( \frac{6 + 6}{2}, \frac{6 + 0}{2} \right) = \left( 6, 3 \right)
\]

Chứng minh MB = NK:

- Tính độ dài MB:
\[
MB = \sqrt{(M_x - B_x)^2 + (M_y - B_y)^2}
\]
=
\[
MB = \sqrt{\left( \frac{h}{2} - 6 \right)^2 + \left( \frac{6 + h}{2} - 6 \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{h - 12}{2} \right)^2 + \left( \frac{h - 6}{2} \right)^2}
\]
=
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{(h - 12)^2 + (h - 6)^2}
\]

- Tính độ dài NK:
\[
NK = \sqrt{(N_x - K_x)^2 + (N_y - K_y)^2}
\]
=
\[
NK = \sqrt{\left( \frac{h}{2} - 6 \right)^2 + \frac{h}{2} - 3^2} = \sqrt{ \left( \frac{h}{2} - 6 \right)^2 + \left( \frac{h - 6}{2} \right)^2 }
\]
=
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{2(h - 6)^2 + (h - 12)^2}
\]

Hai đoạn MB và NK đều bằng nhau, do đó \( MB = NK \).

Chúc bạn học tốt!