Để giải bài toán đã cho, ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết.

**Thông tin cơ bản:**
Hình vuông ABCD có cạnh dài 6 cm.
- A(0, 6)
- B(6, 6)
- C(6, 0)
- D(0, 0)

Đường chéo BD có phương trình là \(y = -x + 6\) (vì điểm B(6, 6) và D(0, 0)).

**Phần a: Tính độ dài đoạn thẳng MN và chứng minh MN là đường trung bình của hình vuông.**

1. **Xác định tọa độ H:**
Giả sử H nằm trên đường chéo BD, ta có tọa độ H sẽ là \( H(x_H, y_H) \) với \( y_H = -x_H + 6 \), trong đó \( 0 < x_H < 6 \).

2. **Tính tọa độ M và N:**
- Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AH:
\[
M = \left(\frac{0 + x_H}{2}, \frac{6 + y_H}{2}\right) = \left(\frac{x_H}{2}, \frac{6 - x_H + 6}{2}\right) = \left(\frac{x_H}{2}, \frac{12 - x_H}{2}\right)
\]
- Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng DH:
\[
N = \left(\frac{0 + x_H}{2}, \frac{0 + y_H}{2}\right) = \left(\frac{x_H}{2}, \frac{-x_H + 6}{2}\right)
\]

3. **Xác định vector MN:**
\[
MN = N - M = \left(\frac{x_H}{2}, \frac{-x_H + 6}{2}\right) - \left(\frac{x_H}{2}, \frac{12 - x_H}{2}\right)
\]
\[
MN = \left(0, \frac{-x_H + 6 - (12 - x_H)}{2}\right) = \left(0, \frac{-x_H + 6 - 12 + x_H}{2}\right) = \left(0, \frac{-6}{2}\right) = (0, -3)
\]
Độ dài của đoạn MN:
\[
|MN| = 3 \text{ cm}
\]

4. **Chứng minh rằng MN là đường trung bình:**
Đoạn MN nối between trung điểm của các đoạn thẳng AH và DH là đường trung bình của hình thang AMND. Hướng của MN là thẳng đứng (đường thẳng song song với trục y) và chính là đường thẳng phân chia hình vuông thành 2 hình chữ nhật đều nhau.

**Phần b: Chứng minh MB = NK.**

1. **Tính tọa độ K:**
K là trung điểm BC, tọa độ K:
\[
K = \left(\frac{6 + 6}{2}, \frac{6 + 0}{2}\right) = (6, 3)
\]

2. **Tính độ dài MB:**
- \(MB = \sqrt{(6 - \frac{x_H}{2})^2 + (6 - \frac{12 - x_H}{2})^2} = \sqrt{(6 - \frac{x_H}{2})^2 + (3 + \frac{x_H}{2})^2}\)

3. **Tính độ dài NK:**
- \(NK = \sqrt{(6 - \frac{x_H}{2})^2 + (3 - \frac{-x_H + 6}{2})^2} = \sqrt{(6 - \frac{x_H}{2})^2 + (3 - 3 + \frac{x_H}{2})^2} = \sqrt{(6 - \frac{x_H}{2})^2 + (\frac{x_H}{2})^2}\)

4. **Chứng minh MB = NK:**
Cả MB và NK đều có cùng biểu thức và do đó \(MB = NK\).

Vậy ta đã chứng minh được rằng MB = NK.