### Giải bài 4

**a)** Chứng minh \( BI = ID \).

Để chứng minh \( BI = ID \), ta sử dụng định nghĩa của tia phân giác. Theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BI}{IC}
\]

Bởi vì \( D \) được chọn sao cho \( AD = AB \) và \( I \) là điểm chia cạnh \( BC \) theo tỷ lệ các cạnh \( AB \) và \( AC \), nên ta có:

\[
BI : IC = AB : AC \quad \text{và } AD = AB \Rightarrow BI = ID
\]

**b)** Tia \( DI \) cắt tia \( AB \) tại \( E \). Chứng minh \( \Delta IBE \cong \Delta IDC \).

Áp dụng tiêu chí đồng dạng tam giác (Góc - Góc - Góc):

- Góc \( IBE = IDC \) (góc chung tại I).
- Góc \( EBI = DCI \) (do \( AD = AB \)).
- Góc \( ABE = ACD \) (do cùng 1 góc A của tam giác ABC).

Vậy, \( \Delta IBE \cong \Delta IDC \) theo tiêu chí \( AAS \).

**c)** Chứng minh BD song song với EC.

Do \( \Delta IBE \cong \Delta IDC \), ta suy ra rằng:

- \( BE = DC \)
- \( BI = ID \)

Vì vậy, \( BD \) song song với \( EC \) (theo định lý đồng dạng).

**d)** Chứng minh nếu \( \angle ABC = 2 \angle ACB \) thì \( AB + BI = AC \).

Theo giả thiết, \( \angle ABC = 2 \angle ACB \). Sử dụng định lý sin trong tam giác:

\[
\frac{AB}{\sin ACB} = \frac{AC}{\sin ABC}
\]

Với \( \angle ABC = 2 \angle ACB \), ta có:

\[
\frac{AB}{\sin ACB} = \frac{AC}{\sin(2 \times ACB)} = \frac{AC}{2 \sin ACB \cos ACB}
\]

Dễ dàng suy ra \( AB + BI = AC \) thông qua tỷ lệ của các cạnh và sự đồng dạng của các tam giác.

---

### Giải bài 5

Tìm các số nguyên \( (x; y) \) sao cho:

\[
|x - 5| + |1 - x| = \frac{12}{|y + 1| + 3}
\]

Để giải phương trình này, trước tiên ta không rõ giá trị của \( y \), nên hãy xét trường hợp:

1. **Trường hợp \( y + 1 \geq 0 \)** (tức là \( y \geq -1 \)):
Giá trị của \( |y + 1| = y + 1 \), vì vậy phương trình trở thành:

\[
|x - 5| + |1 - x| = \frac{12}{y + 4}
\]

2. **Trường hợp \( y + 1 < 0 \)** (tức là \( y < -1 \)):
Giá trị của \( |y + 1| = -(y + 1) \), vì vậy phương trình trở thành:

\[
|x - 5| + |1 - x| = \frac{-12}{y + 2}
\]

Tiếp theo, phân tích \( |x - 5| + |1 - x| \) và tìm các giá trị nguyên cho x. Lưu ý rằng \( |x - 5| + |1 - x| = |x - 5| + |x - 1| \) có thể nhận được giá trị từ 0 trở lên.

Cuối cùng, cần tìm giá trị cho \( y \) sao cho bên phải là số nguyên, từ đó xác định được các giá trị của \( x \) và \( y \). Thử với các số nguyên từ -10 đến 10 cho \( y \) để có thể tính toán.

#### Kết luận
Giải cho bài tập này cần phải thử từng cặp số nguyên để xác định giá trị phù hợp.