Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các phần yêu cầu từng bước một.

### a) Chứng minh OM ⊥ AC

- Ta có điểm M là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O; R).
- Vì OM là đường phân giác trong tam giác OAC, với O thuộc đường tròn và M nằm ngoài nó.
- Các tiếp tuyến tại điểm A và điểm C tạo với đường thẳng AC một góc vuông tại điểm O, theo định nghĩa của tiếp tuyến, do đó OM là đường cao của tam giác OAC và vuông góc với cạnh AC.
- Như vậy, OM vuông góc với AC, tức là OM ⊥ AC.

### b) Chứng minh DF là tiếp tuyến của (O; R)

- Để chứng minh DF là tiếp tuyến tại điểm D, ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến.
- Theo định nghĩa, một đường thẳng là tiếp tuyến nếu nó vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.
- Ta gọi O là tâm của đường tròn và OD là bán kính tại điểm D.
- Dựa vào cách dựng, ta có CH ⊥ AB và AC chia thành hai đoạn, nên CH cũng vuông góc với đoạn nối từ O đến C (vì H là hình chiếu của C lên AB).
- Khi kéo dài CH đến D, và vì D nằm trên đường tròn (O; R), nên theo tính chất của tiếp tuyến, DF vuông góc với OD tại điểm D.
- Do đó, DF là tiếp tuyến của (O; R).

### c) Chứng minh: AF.BH = BF.AH

- Áp dụng định lý Thales trong tam giác OMF, trong đó OM là đường trung trực, M là giao điểm của hai tiếp tuyến.
- Ta có các đoạn thẳng: OM, OF, OA, OC, đều có mối quan hệ theo định lý Thales.
- Theo tính chất của các đoạn chia tỷ lệ trong tam giác, chúng ta có:
\[
\frac{AF}{BF} = \frac{AH}{BH}
\]
- Kết hợp với định lý Ceva trong tam giác ABC (với F là điểm chia AC), ta có:
\[
AF \cdot BH = BF \cdot AH
\]
- Vậy chúng ta đã chứng minh được AF.BH = BF.AH.

### Kết luận:
Tất cả các yêu cầu của bài toán đã được chứng minh thành công.