Để chứng minh rằng tam giác \( \Delta AOB \sim \Delta COD \), chúng ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho. Cụ thể, chúng ta sẽ chứng minh cho từng trường hợp.

### Trường hợp a) \( \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} \)

Theo định nghĩa của sự đồng dạng tam giác, hai tam giác \( \Delta AOB \) và \( \Delta COD \) sẽ đồng dạng nếu tỉ lệ các cạnh tương ứng của chúng bằng nhau.

Gọi:
- \( OA = a \)
- \( OC = c \)
- \( OB = b \)
- \( OD = d \)

Theo giả thiết:
\[
\frac{OA}{OC} = \frac{a}{c} = \frac{OB}{OD} = \frac{b}{d}
\]
Từ đó ta có:
\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
\]

Theo tỉ lệ bằng nhau này, từ đó theo định nghĩa tỉ lệ giữa các cạnh của tam giác, ta chứng minh được:
\[
\Delta AOB \sim \Delta COD
\]

### Trường hợp b) \( OA \cdot OD = OB \cdot OC \)

Áp dụng định lý về tỉ số giữa các cạnh, chúng ta có:
\[
OA \cdot OD = OB \cdot OC
\]

Khi đó, dựa trên định lý Pythagore cho các cặp cạnh tương ứng, ta có:
\[
OA^2 \cdot OD^2 = OB^2 \cdot OC^2
\]

Ta nhận thấy rằng từ điều kiện này, nó dẫn đến việc hai tam giác có tỉ lệ các cạnh tương ứng bằng nhau. Do đó, ta cũng có thể đi đến kết luận:
\[
\Delta AOB \sim \Delta COD
\]

### Trường hợp c) \( \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} \)

Ở đây, cũng tương tự như các trường hợp trên, khi mà tỉ lệ giữa các đoạn thẳng đã cho là bằng nhau, ta có:
\[
\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}
\]

Dễ dàng thấy rằng tỉ lệ này tương ứng giữa các cạnh của tam giác \( \Delta AOB \) và \( \Delta COD \):
\[
\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}
\]

Dễ dàng đi đến kết luận là \( \Delta AOB \sim \Delta COD \).

### Kết luận

Dựa vào các trường hợp trên, ta đã chứng minh rằng \( \Delta AOB \sim \Delta COD \) khi thỏa mãn một trong ba điều kiện:
1. \( \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} \)
2. \( OA \cdot OD = OB \cdot OC \)
3. \( \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} \)

Chúng ta có thể xác nhận rằng điều này đúng và dựa trên các nguyên lý hình học của tam giác.