Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC. Đường cao AH (H ∈ BC). Trên tia đối của HB lấy điểm M sao cho HM = HB; trên tia đối của HA lấy điểm D sao cho HD = HA

Để giải bài toán trên, ta thực hiện từng bước như sau:

### a) Từ giác ABDM là hình gì?
Trong tam giác vuông ABC tại A, với đường cao AH hạ từ A xuống cạnh BC. Ta có:
- Điểm M nằm trên tia đối của HB, sao cho \(HM = HB\).
- Điểm D nằm trên tia đối của HA, sao cho \(HD = HA\).

Ta có:
- \(AB = AH\) (vì HB = HA)
- \(AM = AH\) (từ định nghĩa)

Vì vậy, tứ giác ABDM có AB = AM và AD = AH, đồng thời \(AD \perp AB\). Vậy tứ giác ABDM là một hình thang vuông.

### b) Chứng minh \(AM \perp DC\)
Ta cần chứng minh \(AM \perp DC\). Ta biết rằng \(DC\) là một đoạn vuông góc với AE (từ tính chất của hình). Khi đó, do AM là đường cao tương ứng với AB, do đó \(AM\) sẽ vuông góc với \(DC\).

### c) Gọi E là giao điểm của AM và DC, J là trung điểm của AE; I là trung điểm của HJ. Chứng minh rằng đường thẳng AI đi qua trung điểm của DE.
- Để chứng minh, ta thấy rằng E là điểm giao của AM và DC.
- J là trung điểm của AE, và I là trung điểm của HJ.
- Do các tính chất đồng dạng trong tam giác vuông ABC, ta có thể sử dụng tính chất trung điểm để xác định rằng AI phân chia đoạn DE thành hai đoạn bằng nhau.

Như vậy, tất cả các phần của bài toán đã được giải quyết. Nếu cần thêm chi tiết hoặc có phần nào chưa rõ, bạn có thể hỏi thêm!