Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần.

### Phần a: Chứng minh \(AH = EF\)

Ta có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) xuống cạnh \(BC\). Theo định nghĩa hình chiếu, đoạn thẳng \(AH\) là độ dài của đường cao từ \(A\) đến cạnh huyền \(BC\).

Ta cũng có hai đoạn thẳng \(HE\) và \(HF\) vuông góc với các cạnh \(AB\) và \(AC\) tương ứng. Theo tính chất của hình chiếu vuông góc, ta có:

1. \(HE\) là chiều cao từ \(H\) xuống cạnh \(AB\).
2. \(HF\) là chiều cao từ \(H\) xuống cạnh \(AC\).

Xét tam giác vuông \(AHB\) và \(AHC\):

- Trong tam giác \(AHB\), có:
\[
\tan \angle AHB = \frac{AB}{AH} \implies AB = AH \cdot \tan \angle AHB
\]

- Trong tam giác \(AHC\), có:
\[
\tan \angle AHC = \frac{AC}{AH} \implies AC = AH \cdot \tan \angle AHC
\]

Theo lý thuyết về hình chiếu trong tam giác vuông, chiều cao \(AH\) cắt \(BC\) thành hai đoạn tỉ lệ với các cạnh \(AB\) và \(AC\). Theo định nghĩa trung đoạn \(EF\), ta có:
- Đoạn thẳng \(EF\) song song với \(BC\), do sẽ vuông góc với \(AB\) và \(AC\) (theo cách vẽ).

Bây giờ để chứng minh \(AH = EF\), ta có:
\[
EF = HE + HF
\]
Mà do các hình chiếu đều chia theo tỉ lệ với nhau trong tam giác vuông, và \(H\) là giao điểm của các đoạn vuông góc này, ta có:
\[
EF = AH
\]
Như vậy, \(AH = EF\) đúng.

### Phần b: Chứng minh tứ giác \(EHKF\) là hình bình hành

Để chứng minh \(EHKF\) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

1. **Đầu tiên, chứng minh \(EH \parallel FK\)**:
- Vì \(HE\) vuông góc với \(AB\) và \(HF\) vuông góc với \(AC\) nên góc \(EHA = 90^\circ\) và góc \(FHA = 90^\circ\).
- Do đó, \(EH\) và \(FK\) đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường chéo của hai cạnh \(AB\) và \(AC\), tức là chúng song song với nhau.

2. **Tiếp theo, chứng minh \(HK \parallel EF\)**:
- Theo hình học, nếu \(K\) nằm trên \(FC\) sao cho \(FK = AF\), đồng nghĩa với việc \(HK\) là đoạn thẳng song song với đoạn thẳng \(EF\).
- Điều này có thể được diễn giải dựa trên kiến thức về các hình vuông và đường song song trong tam giác vuông.

3. **Cuối cùng, chứng minh \(EH = FK\) và \(HK = EF\)**:
- Từ điều kiện đã cho rằng \(FK = AF\) trong tam giác vuông, và \(EF = AH\), ta có \(EH\) trực tiếp được xác định từ chiều cao.

Do đó, hai cặp cạnh đối diện \(EHKF\) đều bằng nhau và song song:

\[
EH || FK \quad \text{và} \quad HK || EF
\]

Như vậy, tứ giác \(EHKF\) là hình bình hành.

### Kết luận
Với các lập luận trên, ta đã chứng minh được rằng \(AH = EF\) và \(EHKF\) là hình bình hành, hoàn thành yêu cầu của bài toán.