Để giải bài toán này, ta làm theo từng yêu cầu một:

### a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta DMC\).

1. **Xét các cạnh**:
- \(AM = DM\) (do định nghĩa điểm D).
- \(MB = MC\) (do M là trung điểm của BC).

2. **Xét góc**:
- Góc \(\angle AMB = \angle DMC\) (cùng bằng 90 độ, vì \(\Delta ABC\) vuông tại A).

Như vậy, theo định lý đồng dạng của tam giác, ta có \(\Delta AMB \cong \Delta DMC\).

### b) Chứng minh \(AB \parallel CD\).

Từ \( \Delta AMB \cong \Delta DMC \), ta suy ra rằng hai tam giác này có cùng một số góc tương ứng.

- Nếu \( \angle AMB = \angle DMC\) và \( \angle A = \angle D\), thì theo quy tắc góc thì ta có \(AB \parallel CD\) do hai góc đồng vị bằng nhau.

### c) Tính độ dài \( \overline{BC} \).

Để tính độ dài \( \overline{BC}\), bạn cần thông tin về độ dài của các cạnh từ hình vẽ hoặc các số liệu cho trước. Nếu có thông tin về độ dài các cạnh của tam giác vuông ABC, bạn có thể áp dụng định lý Pythagore hoặc thông tin về các cạnh và áp dụng công thức để tìm.

Nếu bạn không có thêm thông tin về độ dài thì không thể xác định được độ dài \( BC \).