Để giải bài toán, ta sẽ làm từng phần một.

### Phần (a)

**Chứng minh rằng tam giác BAH = tam giác BDH và tia BC là tia phân giác của góc ABD.**

Ta có:
- Tam giác BAH vuông tại A.
- AH vuông góc với BC (điều này có nghĩa là AH ⊥ BC).
- HD = HA (theo đề bài).

Trong tam giác BAH, ta có:
- BA = BA (cạnh chung),
- AH = HD (theo điểm D được chọn),
- Và góc HBA = góc DAB (do AH ⊥ BC).

=> Suy ra tam giác BAH ≈ tam giác BDH (theo điều kiện góc-góc-cạnh).

Vì vậy, khi tam giác BAH và BDH có ba cạnh tương ứng, chúng cũng sẽ có các góc tương ứng bằng nhau.

Từ đó, ta có:
- Vì AH ⊥ BC, góc HBA = 90°,
- Do đó, góc ABD = góc BAH + góc ABD = 90° + góc BAH = 90° + Góc DAB.

Suy ra, BC là tia phân giác của góc ABD, vì nó chia góc ABD thành hai góc bằng nhau.

### Phần (b)

**Chứng minh rằng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM.**

Vì M là điểm trên BC, với AD là đường thẳng vẽ từ A, và M là điểm cắt của BC và đường thẳng song song với AB.

Giả sử M cũng nằm giữa điểm B và C (điều này là có thể, vì BC là một đoạn thẳng).

Vì đường thẳng AM song song với AB, suy ra góc AMD = góc DAB (do góc đồng vị).

Hơn nữa, biết rằng HD = HA, ta có hai tam giác BAH và BDH là bằng nhau - nghĩa là BM = MH.

Tại đây, ta có:
1. AD vuông góc với HM (từ tính chất của đường thẳng trung trực trong tam giác),
2. AM là đường thẳng, nối hai điểm cách đều từ A, tức BM = MH.

Suy ra, AD là trung trực của đoạn thẳng BM.

### Phần (c)

**Chứng minh ba điểm C, N, D thẳng hàng.**

Vì CN ⊥ AM, mà AM vuông góc với BM (điều này đúng từ tam giác BAH và BDH mà ta đã chứng minh), ta có thể hình dung rằng N nằm trên đường thẳng AM và tạo thành một góc vuông với AM.

Do AD là trung trực của đoạn BM, nên D nằm trên đường thẳng nối A và trung điểm của BM.

Mặt khác, ta đã biết M là đoạn thẳng chia đều cho đoạn thẳng BA và BM, và do đó tạo thành một điểm thẳng hàng với A.

Vì C, N, D đều nằm trên cùng một đường thẳng, cho nên ba điểm này là thẳng hàng.

Tóm lại, ta đã chứng minh thành công các phần của bài toán được đưa ra.