Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích và chứng minh các yêu cầu của đề bài.

### a) Chứng minh tam giác \( MNK \cong ENK \)

1. **Quy ước và ký hiệu**:
- Gọi \( N \) là điểm trên cạnh \( NP \).
- \( K \) là trung điểm của đoạn \( ME \).
- Theo dữ kiện, \( NM = NE \).

2. **Các cặp cạnh tương ứng**:
- Có \( MK = KE \) vì \( K \) là trung điểm của \( ME \).
- Có \( NM = NE \) (theo giả thiết).

3. **Các cặp góc tương ứng**:
- \( \angle MNK = \angle ENK \) (góc chung tại điểm \( K \)).
- \( \angle MKN = \angle EKN \) (cả hai đều là góc vuông vì tam giác \( MNP \) vuông tại \( M \)).

4. **Kết luận**:
- Sử dụng yếu tố cạnh-góc-cạnh (c.g.c) cho tam giác, chúng ta có:
\[
MNK \cong ENK
\]
từ đó, chúng ta có \( \triangle MNK = \triangle ENK \).

### b) Chứng minh \( IE \) vuông góc \( NP \)

1. **Kí hiệu**:
- Gọi \( I \) là điểm giao nhau của đường thẳng \( NK \) và \( MP \).

2. **Tam giác tương ứng**:
- Do \( MNK \cong ENK \), góc \( INK \) và góc \( ENK \) sẽ bằng nhau. Hay \( INK = ENK \).

3. **Góc vuông**:
- Ta có tứ giác \( NEKI \) với góc \( ENK \) bằng góc vuông và \( IK = KN \).
- Do đó \( NK \) là đường trung bình (từ \( N \) tới \( I \)) vuông góc với \( NP \).

4. **Kết luận**:
- Vậy \( IE \) vuông góc với \( NP \).

### c) Chứng minh góc \( MNI = \angle QEP \)

1. **Các định nghĩa**:
- \( F \) là giao điểm của đường thẳng nối từ \( E \) đến đường thẳng \( NI \) sao cho song song với \( MP \).
- \( Q \) là điểm trên đoạn \( IP \) sao cho \( IQ = FE \).

2. **Cách tiếp cận**:
- Vì \( F \) nằm trên đường thẳng song song với \( MP \) thì từ công thức góc so le, ta có:
\[
\angle MNI = \angle QEF
\]

3. **Sử dụng đường tròn**:
- Từ điểm \( E \) vẽ thêm đường tròn với bán kính \( FE \). Do đó, ta sẽ có các tính chất tương ứng giữa các góc.

4. **Kết luận**:
- Ta đã có \( \angle MNI = \angle QEP \) từ hai góc so le tạo thành.

Trên đây là các bước chứng minh các yêu cầu trong bài toán đã cho. Hy vọng các bạn nhận được nhiều kiến thức từ bài tập này!