Để tìm số dư của \( S = 17 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + \ldots + 5^{2010} \) khi chia cho 31, trước hết ta cần tính tổng mẫu số hạng \( 5^2 + 5^3 + 5^4 + \ldots + 5^{2010} \).

### Bước 1: Biểu thức tổng

Tổng của dãy số từ \( 5^2 \) đến \( 5^{2010} \) có thể được viết như sau:

\[
S' = 5^2 + 5^3 + 5^4 + \ldots + 5^{2010}
\]

### Bước 2: Công thức tổng cấp số nhân

Dãy trên là một cấp số nhân, và tổng của một cấp số nhân với số hạng đầu \( a = 5^2 \), số hạng cuối \( l = 5^{2010} \), và số hạng thứ \( n = 2010 - 2 + 1 = 2009 \) là:

\[
S' = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

với \( r = 5 \). Vậy ta có:

\[
S' = 5^2 \cdot \frac{5^{2009} - 1}{5 - 1} = 25 \cdot \frac{5^{2009} - 1}{4}
\]

### Bước 3: Tính \( S \)

Từ đó, tổng \( S \) sẽ là:

\[
S = 17 + S' = 17 + 25 \cdot \frac{5^{2009} - 1}{4}
\]

### Bước 4: Tính modulo 31

Tiếp theo, chúng ta tính \( S \mod 31 \). Đầu tiên, cần tính \( 5^{2009} \mod 31 \). Theo định lý Fermat, vì 31 là số nguyên tố:

\[
5^{30} \equiv 1 \mod 31
\]

Vậy, \( 2009 \mod 30 = 9 \):

\[
5^{2009} \equiv 5^9 \mod 31
\]

Bây giờ, tính \( 5^9 \mod 31 \):

\[
\begin{align*}
5^1 &\equiv 5 \\
5^2 &\equiv 25 \\
5^3 &\equiv 125 \equiv 1 \mod 31 \\
5^4 &\equiv 5 \cdot 1 \equiv 5 \\
5^5 &\equiv 25 \\
5^6 &\equiv 1 \\
5^7 &\equiv 5 \\
5^8 &\equiv 25 \\
5^9 &\equiv 1 \mod 31
\end{align*}
\]

Do đó,

\[
5^{2009} \equiv 5^9 \equiv 1 \mod 31
\]

### Bước 5: Substituting into total

Thay vào biểu thức tổng:

\[
S' = 25 \cdot \frac{1 - 1}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad S \mod 31 = 17 + 0 \equiv 17 \mod 31
\]

### Kết quả

Số dư của \( S \) khi chia cho 31 là:

\[
\boxed{17}
\]