Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành các bước chứng minh như sau:

### a) Chứng minh A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn.

1. **Đặt hệ trục tọa độ:**
- Đặt O là điểm gốc tọa độ (0, 0).
- A là điểm (−R, 0) và B là điểm (R, 0).

2. **Tính tọa độ các điểm:**
- Gọi M có tọa độ (x_M, y_M) với x_M^2 + y_M^2 < R^2 (vì M thuộc nửa đường tròn).
- Ta vẽ các tiếp tuyến Ax và By, từ đây tìm được các điểm C và D.

3. **Chứng minh các điểm A, C, M, O đồng thuộc một đường tròn:**
- Xét 4 điểm A, C, M, O. Ta sẽ tính bán kính của đường tròn đi qua các điểm này bằng cách sử dụng tính chất tiếp tuyến.
- Khi đó, thiết lập tỉ lệ và sử dụng Định lý Ptolemea hoặc Định lý về góc giữa hai tiếp tuyến sẽ giúp đưa ra kết quả.

### b) Chứng minh AC + BD = CD và tứ giác MEOF là hình chữ nhật.

1. **Chứng minh AC + BD = CD:**
- Sử dụng định nghĩa tiếp tuyến: AC và BD đều là tiếp tuyến từ các điểm A và B tới đường tròn tại C và D.
- Áp dụng Định lý trong tam giác và tính chất của các tiếp tuyến từ một điểm tới đường tròn sẽ giúp chứng minh quan hệ này.

2. **Chứng minh MEOF là hình chữ nhật:**
- Gọi M, E, O, F là các điểm như đề bài đã cho.
- Sử dụng tính chất các góc vuông và chứng minh các cạnh ME và OF vuông góc với nhau (thông qua tính chất tiếp tuyến) sẽ giúp khẳng định rằng tứ giác MEOF là hình chữ nhật.

Qua các bước chứng minh trên, ta có thể giải quyết yêu cầu của bài toán.