Để chứng minh rằng \( AH^2 = HB \times HC \) trong tam giác vuông \( ABC \) với góc vuông tại \( A \) và \( H \) là chân đường cao từ \( A \) đến cạnh huyền \( BC \), ta thực hiện các bước sau:

- Gọi độ dài các cạnh như sau:
- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( BC = a \) (cạnh huyền)

- Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2 \quad \Rightarrow \quad c^2 + b^2 = a^2
\]

- Gọi \( HB = m \) và \( HC = n \). Theo định nghĩa, ta có:
\[
BC = HB + HC \quad \Rightarrow \quad a = m + n
\]

- Quan hệ giữa chiều cao \( AH \) và các đoạn \( HB \) và \( HC \):
Vì \( \triangle AHB \) và \( \triangle AHC \) đều là tam giác vuông tại \( H \), ta có:
\[
AH^2 = AB^2 - HB^2 = c^2 - m^2
\]
\[
AH^2 = AC^2 - HC^2 = b^2 - n^2
\]

- Từ đây, ta viết lại được:
\[
c^2 = AH^2 + m^2
\]
\[
b^2 = AH^2 + n^2
\]

- Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng công thức ở trên để rút gọn và so sánh:
\[
c^2 + b^2 = (AH^2 + m^2) + (AH^2 + n^2) = 2AH^2 + m^2 + n^2
\]

- Từ đó, thay \( c^2 + b^2 = a^2 \) vào:
\[
a^2 = 2AH^2 + (m^2 + n^2)
\]

- Chúng ta biết theo định lý Pitago cho tam giác \( ABC \):
\[
a^2 = m^2 + n^2 + 2mn
\]
(theo định lý hạng số B và như vậy các đoạn bộ nên chồng lên nhau đó sẽ sinh hoạt số \( x^2 + y^2 \)).

- Lúc này, ta có hệ thức:
\[
m^2 + n^2 = a^2 - 2mn
\]

- Thay vào (5):
\[
a^2 = 2AH^2 + a^2 - 2mn
\]
Giải phương trình này:
\[
0 = 2AH^2 - 2mn \quad \Rightarrow \quad AH^2 = mn
\]

Vậy \( AH^2 = HB \times HC \), điều ta cần chứng minh.

**Kết luận:**
\[
AH^2 = HB \times HC
\]
Như vậy, ta đã chứng minh được mệnh đề này.