Để chứng minh ba điểm E, O và N thẳng hàng, ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và quan hệ hình học giữa các điểm trong bài toán.

1. **Tính chất tiếp tuyến**: Theo định lý về tiếp tuyến, từ một điểm nằm ngoài đường tròn, đoạn thẳng nối điểm đó với điểm tiếp xúc của tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. Do đó, ta có:
\[
ME \perp OE \quad \text{và} \quad MF \perp OF
\]

2. **Kẻ dây FN song song với MO**: Theo giả thiết, dây FN được kẻ song song với đoạn thẳng MO. Ta có:
\[
FN \parallel MO
\]

3. **Suy ra góc tương ứng**: Vì dây FN song song với MO, ta biết rằng góc chéo sẽ bằng nhau; cụ thể:
\[
\angle MEF = \angle NFN \quad \text{(do tính chất các góc so le trong hai đường thẳng song song)}
\]

4. **Cạnh E và O và góc vuông**: Theo tính chất của tiếp tuyến tại E, ta có:
\[
\angle MEF = 90^\circ
\]

5. **Kết hợp các góc**: Từ việc góc MEF vuông và góc NFN bằng nhau (do fur được thiết lập song song), ta kết luận:
\[
\angle NFN = 90^\circ
\]

6. **Điểm O nằm trên đường thẳng nối ME và NF**: Vì ME vuông với OE tại điểm E, và FN cũng vuông tại O, ta kết luận rằng O nằm trên tiếp tuyến trong tam giác MEF.

7. **Kết luận ba điểm thẳng hàng**: Do đó, ba điểm E, O và N sẽ nằm trên một đường thẳng, ta có thể ghi nhận rằng:
\[
E, O, N \text{ thẳng hàng}.
\]

Như vậy, đã chứng minh rằng ba điểm E, O, N thẳng hàng theo yêu cầu bài toán.