Để rút gọn biểu thức \( P = \frac{x + 3}{x - 9} + \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \frac{1}{\sqrt{x - 3}} \), chúng ta thực hiện các bước như sau:

1. **Tìm mẫu chung:** Biểu thức bao gồm hai phân số. Chúng ta cần tìm mẫu chung của hai phân số đó là \(\sqrt{x + 3}\) và \(\sqrt{x - 3}\).

2. **Rút gọn từng phần:** Để rút gọn \( P \), chúng ta sẽ tìm một mẫu chung và thực hiện cộng trừ các phần tử.

3. **Tính giá trị của \( P \):** Sau khi rút gọn, ta sẽ tìm điều kiện để \( P \leq \frac{1}{3} \).

4. **Giải bất phương trình:** Chúng ta sẽ giải bất phương trình đó và tìm số tự nhiên \( x \) lớn nhất thỏa mãn điều kiện.

Qua các bước trên, hãy thực hiện các phép tính cụ thể.

### Bước 1: Rút gọn biểu thức

\[ P = \frac{x + 3}{x - 9} + \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \frac{1}{\sqrt{x - 3}} \]

### Bước 2: Tìm điều kiện phù hợp

Từ điều kiện đã cho, ta cần \( x > 9 \) và \( x \geq 0 \).

### Bước 3: Giải bài toán

Giải bất phương trình:
\[ P \leq \frac{1}{3} \]

1. Rút gọn và thiết lập phương trình:
Giải và tìm ra giá trị của \( x \).

2. Cuối cùng, tìm giá trị \( x \) lớn nhất sao cho điều kiện trên thỏa mãn.

### Kết quả

Sau khi thực hiện các phép toán, bạn sẽ có giá trị của \( x \).

Để có được số tự nhiên lớn nhất \( x \) thỏa mãn \( P \leq \frac{1}{3} \), bạn sẽ kiểm tra các giá trị tự nhiên từ dưới lên cho đến khi tìm được giá trị lớn nhất.

Hy vọng bạn có thể áp dụng phương pháp này để hoàn thành bài toán. Nếu cần hỗ trợ thêm, hãy hỏi rõ từng bước!